Esta pregunta merece una respuesta experta como este por Emerton, pero permítanme ofrecer la perspectiva de un extraño. Las siguientes observaciones están tomadas de mi artículo expositivo arXiv:1007.4426 .
Primero recordemos que la proporción de primos $p$ para lo cual $T^2+1$ tiene ninguna raíz (o dos raíces distintas) en $\mathbf{F}_p$ es $1/2$ (resp. $1/2$ ), y que la proporción de $p$ para lo cual $T^3-T-1$ no tiene raíces (resp. exactamente una raíz, resp. tres raíces distintas) en $\mathbf{F}_p$ es $1/3$ (resp. $1/2$ , resp. $1/6$ ).
¿Cuál es la analogía de lo anterior para el número de raíces $N_p(f)$ de $f=S^2+S-T^3+T^2$ en $\mathbf{F}_p$ ? Un teorema de Hasse implica que $a_p=p-N_p(f)$ se encuentra en el intervalo $[-2\sqrt p,+2\sqrt p]$ Así que $a_p/2\sqrt p$ se encuentra en $[-1,+1]$ . Lo que es la proporción de primos $p$ para lo cual $a_p/2\sqrt p$ se encuentra en un determinado intervalo $I\subset[-1,+1]$ ? Fue predicho por Sato (por motivos numéricos) y Tate (por motivos teóricos), no sólo por este $f$ pero para todos $f\in\mathbf{Z}[S,T]$ definiendo una "curva elíptica sin multiplicaciones complejas", que la proporción de tales $p$ es igual al área $$ {2\over\pi}\int_{I}\sqrt{1-x^2}\;dx. $$ de la parte del semicírculo unitario que se proyecta sobre $I$ . La conjetura de Sato-Tate para curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$ fue resuelto en 2008 por Clozel, Harris, Shepherd-Barron y Taylor.
Existe un análogo para los "pesos superiores". Sea $c_n$ (para $n>0$ ) sea el coeficiente de $q^n$ en el producto formal $$ \eta_{1^{24}}= q\prod_{k=1}^{+\infty}(1-q^{k})^{24}=0+1.q^1+\sum_{n>1}c_nq^n. $$ En 1916, Ramanujan había hecho algunas conjeturas profundas sobre estos $c_n$ Algunos de ellos, como $c_{mm'}=c_mc_{m'}$ si $\gcd(m,m')=1$ y $$ c_{p^r}=c_{p^{r-1}}c_p-p^{11}c_{p^{r-2}} $$ para $r>1$ y primos $p$ que puede expresarse más sucintamente como la identidad $$ \sum_{n>0}c_nn^{-s}=\prod_p{1\over 1-c_p.p^{-s}+p^{11}.p^{-2s}} $$ cuando la parte real de $s$ es $>(12+1)/2$ fueron probados por Mordell en 1917. La última de las conjeturas de Ramanujan fue demostrada por Deligne en la década de 1970: para cada primo $p$ el número $t_p=c_p/2p^{11/2}$ se encuentra en el intervalo $[-1,+1]$ .
Todas estas propiedades del $c_n$ se deduce del hecho de que la correspondiente función $F(\tau)=\sum_{n>0}c_ne^{2i\pi\tau.n}$ de una variable compleja $\tau=x+iy$ ( $y>0$ ) en $\mathfrak{H}$ es una "eigenforma primitiva de peso $12$ y el nivel $1$ "(que básicamente equivale a la identidad $F(-1/\tau)=\tau^{12}F(\tau)$ ).
(Por cierto, Ramanujan también había conjeturado algunas congruencias satisfechas por el $c_p$ modulo $2^{11}$ , $3^7$ , $5^3$ , $7$ , $23$ y $691$ como por ejemplo $c_p\equiv1+p^{11}\pmod{691}$ para cada primo $p$ y fueron el origen de la la conjetura de modularidad de Serre recientemente demostrada por Khare-Wintenberger y Kisin).
Por lo tanto, podemos preguntarnos cómo estos $t_p=c_p/2p^{11/2}$ se distribuyen: por ejemplo, ¿hay tantos primos $p$ con $t_p\in[-1,0]$ como con $t_p\in[0,+1]$ ? Sato y Tate predijeron en la década de 1960 que el preciso proporción de primos $p$ para lo cual $t_p\in I$ para un intervalo determinado $I\subset[-1,+1]$ es $$ {2\over\pi}\int_{I}\sqrt{1-x^2}\;dx. $$ Esto se expresa diciendo que el $t_p=c_p/2p^{11/2}$ son equidistribuido en el intervalo $[-1,+1]$ con respecto a la medida $(2/\pi)\sqrt{1-x^2}\;dx$ . Recientemente Barnet-Lamb, Geraghty, Harris y Taylor han demostrado que esto es así.
Su teorema principal implica muchos resultados de equidistribución de este tipo, incluyendo el el recordado anteriormente para la curva elíptica $S^2+S-T^3+T^2=0$ para una introducción a este tipo de teoremas de densidad , ver el artículo de revisión de Taylor Leyes de reciprocidad y teoremas de densidad .
