Aquí hay, tal vez, un poco de intuición: la dificultad de tomar la derivada de la expresión dada es que es un cociente, lo que significa que si no le haces nada, vas a tener que atacarla con las reglas de la cadena y de la potencia (o la regla del cociente), lo que puede hacer las cosas bastante complicadas. Para facilitarnos la vida, nos gustaría encontrar de alguna manera un factor de $e^x + 1$ arriba para acabar con el denominador.
Si se examina el término que está arriba, parece una diferencia de cuadrados. Así que podemos factorizarlo como $$ e^{-2x} - 1 = (e^{-x})^2 - 1^2 = (e^{-x} + 1)(e^{-x} -1).$$ Esto se acerca a lo que queremos, pero todavía no está ahí. Si pudiésemos convertir el $e^{-x} + 1$ en un $e^{x}+1$ de alguna manera, estaríamos en el negocio. Podemos hacerlo multiplicando por 1 de forma inteligente: $$ e^{-x} + 1 = 1 \cdot (e^{-x} +1) = \frac{e^x}{e^x}(e^{-x} + 1) = \frac{1}{e^x}(1+e^x) = e^{-x}(1+e^x).$$ Sustituyendo todo esto en la expresión original, obtenemos $$ \frac{e^{-2x} - 1}{e^x + 1} = \frac{(e^{-x} - 1)(e^{-x} + 1)}{e^x + 1} = \frac{(e^{-x} -1) e^{-x} (1+e^x)}{e^x + 1} = e^{-x}(e^{-x}-1). $$ Personalmente, simplificaría aún más esto a $$ e^{-2x} - e^{-x}, $$ ya que prefiero tomar la derivada de una suma que de un producto, pero también se puede multiplicar por $e^{-x}$ arriba y abajo para obtener el resultado que otros han dado.
