¿Cómo reconocer un álgebra de Hopf?

Question

Supongamos que se nos entrega un álgebra $A$ sobre un campo $k$ . ¿Qué debemos mirar si queremos determinar si $A$ ¿puede o no puede dotarse de mapas de estructura para convertirla en un álgebra de Hopf?

Supongo que para acotar un poco la cuestión, lo expresaré así: ¿cuáles son algunas condiciones necesarias en un álgebra para que sea un álgebra de Hopf?

Pensamientos hasta ahora:

La primera condición obvia es que $A$ debe ser aumentado, es decir, debe haber un carácter no trivial $\varepsilon : A \to k$ . Dado que esto no suele ser tan difícil de determinar si se nos da el álgebra de alguna manera bastante concreta, supongamos que $A$ se nos da con un mapa de aumento.

Si $A$ es de dimensión finita, entonces $A$ debe ser un álgebra de Frobenius. Pero no toda álgebra de Frobenius de dimensión finita es un álgebra de Hopf, por ejemplo $\Lambda^\bullet(k^2)$ no es un álgebra de Hopf si la característica de $k$ no es 2. Y en general me interesa más el caso de dimensión infinita.

Todo lo que se me ocurre es esto: la categoría de dimensiones finitas $A$ -debe ser una categoría monoidal rígida (izquierda). Pero no sé si es una observación útil: dada una categoría con un functor de olvido a espacios vectoriales de dimensión finita sobre algún campo, ¿cómo se puede demostrar que no se le puede dar la estructura de un trenzado ¿categoría monoidal rígida?

¿Y tal vez haya algunas invariantes homológicas que se puedan mirar?

En resumen, la pregunta es:

Pregunta

Dada una $k$ -Álgebra $A$ y un carácter no nulo $\varepsilon : A \to k$ ¿hay invariantes que podamos observar para demostrar que $A$ no se puede dar la estructura de un álgebra de Hopf?

Answer 1

Una condición homológica que puede ser útil: en el caso de Hopf, el álgebra de Yoneda $Ext_A^\bullet(k,k)$ se incrusta en la cohomología de Hochschild $HH^\bullet(A,A)$ Además, existe una estructura de álgebra de Gerstenhaber en el álgebra de Yoneda, y esta incrustación es una incrustación de álgebras de Gerstenhaber.

Referencia: este artículo de Marco Farinati y Andrea Solotar.

Tengo la sensación de que ya daría alguna información para las álgebras exteriores, aunque ahora no tengo tiempo de comprobarlo detenidamente. Por supuesto, para utilizar esta observación para las álgebras exteriores, el producto conmutativo graduado a partir de la estructura de Gerstenhaber (resaltada por mt en su respuesta) es suficiente. Pero creo que hay casos en los que el paréntesis de Lie ayudará a resolver la respuesta.

Answer 2

Una consecuencia trivial de lo que dice Vladimir es que si $A$ es un álgebra de Hopf y $k$ es el módulo trivial (mediante un mapa de aumento $\epsilon$ entonces $\operatorname{Ext}_A(k,k)$ es conmutativa graduada. Es posible dar condiciones necesarias para esto, por ejemplo los elementos de grado uno son conmutativos graduados si se puede encontrar un mapa $f: I^2/I^3 \to S^2(I/I^2)$ (el cuadrado simétrico) tal que $fm = p$ donde $I$ es el ideal de aumento, $m: (I/I^2)^{\otimes 2} \to I^2/I^3$ es la multiplicación y $p: (I/I^2)^{\otimes 2} \to S^2(I/I^2)$ es el cociente natural.

Answer 3

Dejemos que $I$ sea el núcleo de $\epsilon\colon A\to k$ . Filtrar $A$ por los poderes de $I$ . Si $A$ es un álgebra de Hopf, entonces el álgebra graduada asociada $E^0A$ es un álgebra de Hopf generada primitivamente. Si la característica de $k$ es cero, $E^0A$ es isomorfa al álgebra universal envolvente de su álgebra de Lie de elementos primitivos. Por el teorema de Poincar'e-Birkhof-Witt (PBW) el álgebra graduada asociada de $E^0A$ con respecto a su filtración de Lie es isomorfa (cuando se reajusta por grado total) a la álgebra conmutativa libre sobre los elementos primitivos de $E^0A$ que es un álgebra polinómica (suponiendo que el $A$ con el que empiezas no está clasificado, o graduado y concentrado en grados pares). Así, $A$ está a dos filtraciones de un álgebra polinómica, lo que da una restricción significativa en el espacio vectorial subyacente de $A$ . Si $k$ tiene una característica positiva $p$ , el mismo argumento se aplica con el álgebra de Lie sustituida por el álgebra de Lie restringida, pero por supuesto la conclusión del teorema de PBW da una información mucho menos completa, dependiendo de la restricción ( $p$ de potencia).

Answer 4

Llego un poco tarde, pero he aquí una simple observación. Consideremos una versión topológica de la pregunta: dado un espacio topológico $X$ ¿Cómo podemos reconocer cuando $X$ ¿se puede dar la estructura de un grupo topológico? Una condición necesaria simple es que $X$ debe ser homogénea, y en particular cada punto debe tener vecindades homeomórficas, porque $X$ debe actuar transitivamente sobre sí mismo.

Una afirmación análoga sobre las álgebras de Hopf es la siguiente. Sea $H$ sea un álgebra de Hopf conmutativa sobre un campo $k$ . Entonces $G = \text{Spec } H$ es un esquema de grupo afín sobre $k$ Además, el grupo $G(k)$ actúa sobre $G$ y esta acción es transitiva en $k$ -puntos. En particular, la dimensión del espacio tangente de Zariski en cada $k$ -punto de $H$ debe ser el mismo. Así que cualquier álgebra conmutativa sin esta propiedad no puede ser el álgebra conmutativa subyacente de un álgebra de Hopf. Los ejemplos vienen dados por el anillo de funciones sobre cualquier variedad singular, como la cúspide cúbica $k[x, y]/(y^2 - x^3)$ ( $k$ un campo característico distinto de $2$ o $3$ ); en este caso la dimensión del espacio tangente en cualquier punto es $1$ excepto en $(0, 0)$ donde es $2$ .

Creo que este es esencialmente el punto de la respuesta de David Speyer, modulo algunos tecnicismos.

(Un análogo topológico de la observación sobre $\text{Ext}_A(k, k)$ siendo conmutativa graduada es que si $X$ es un grupo topológico, entonces $\Omega X$ es un $E_2$ -y en particular $\pi_1(X)$ es abeliano por el argumento de Eckmann-Hilton).

Answer 5

Las álgebras de Hopf conmutativas de generación finita sobre un campo de característica cero son regulares. Véase Oort .