Cómo encontrar $\lim\limits_{x \to 8} \frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac 13}{x-8}$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite como $x\to 8$ de la siguiente función. Lo que sigue es la función y luego el trabajo que he hecho en ella.

$$ \lim_{x\to 8}\frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac{1}{3}} {x-8}$$

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\begin{align}\frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac{1}{3}} {x-8} &= \frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac{1}{3}} {x-8} \times \frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}} \\\\ & = \frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{9}}{(x-8)\left(\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}\right)}\\\\ & = \frac{8-x}{(x-8)\left(\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}\right)}\\\\ & = \frac {-1}{\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}}\end{align}

En este punto intento la sustitución directa y obtengo: $$ = \frac{-1}{\frac{2}{3}}$$

Esta no es la respuesta. ¿Podría alguien ayudarme a averiguar en qué me he equivocado?

Answer 1

$$\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{9}}{(x-8)\left(\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}\right)} = \frac{\color{red}{8-x}}{(x-8)\left(\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}\right)}$$

Cuidado con el numerador: $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{9} \ne 8-x$$ sino más bien: $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{9}= \frac{9}{9(x+1)}-\frac{x+1}{9(x+1)} = \frac{8-x}{\color{blue}{9(x+1)}}$$ Así que después de cancelar/simplificar: $$\frac {\frac{-1}{\color{blue}{9(x+1)}}}{\frac{1}{\sqrt{x +1}} + \frac{1}{3}} \xrightarrow{x \to 8} -\frac{1}{54}$$

Answer 2

$$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 8} \frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac 13}{x-8} & = \lim _{t\to 0}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{\left(t+8\right)\:+1}}\:-\:\frac{1}{3}}{\left(t+8\right)-8}\right) \\& = \lim _{t\to 0}\left(\frac{\left(3-\sqrt{t+9}\right)\sqrt{t+9}}{3t^2+27t}\right) \\& = \lim _{t\to \:0}\left(-\frac{1}{3\left(3+\sqrt{t+9}\right)\sqrt{t+9}}\right) \\& = \color{red}{-\frac{1}{54}} \end{aligned} $$

Answer 3

Tenemos $$\begin{align}\frac{\frac{1}{x+1} - \frac{1}{9}}{(x-8)((x+1)^{-1/2} + 1/3)} &= \frac{\frac{8-x}{9(x+1)}}{(x-8)((x+1)^{-1/2} + 1/3)} \\&= -\frac{1}{9(x+1)((x+1)^{-1/2} + 1/3))} \\ &\longrightarrow-\frac{1}{9(9)(2/3)} = \color{blue}{-\frac{1}{54}}.\end{align}$$

En particular, se ha olvidado de tener en cuenta el $9(x+1)$ término que se obtiene al simplificar $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{9}$ .

Answer 4

$$\lim\limits_{x\rightarrow8}\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{3}}{x-8}=\lim\limits_{x\rightarrow8}\frac{8-x}{3(x-8)\sqrt{x+1}\left(3+\sqrt{x+1}\right)}=-\frac{1}{3\cdot3\cdot6}=-\frac{1}{54}$$

Answer 5

Dejemos que $\sqrt{x+1}-3=h\implies x=(3+h)^2-1$

$$ \lim_{x\to 8}\frac{\frac{1}{\sqrt{x +1}} - \frac{1}{3}} {x-8}=\lim_{h\to0^+}\dfrac{\dfrac1{h+3}-\dfrac13}{(3+h)^2-9}=\lim_{h\to0^+}\dfrac{3-(h+3)}{3h(6+h)(h+3)}=?$$

Anular $h$ de forma segura como $h\ne0$ como $h\to0$