Secuencia de mapeo de contracción y convergencia del punto fijo

Question

Dejemos que $(,||_{\infty})$ sea un espacio métrico y $:$ sea una función que mapea S en sí misma. $S$ es un espacio de función continua acotada y Lipschitz.

Para cada $\in$ , $\tau_{n}\in T$ satisface las condiciones suficientes de Blackwell, lo que implica la existencia de un punto fijo único. Sea $s_{n}$ sea la función de punto fijo de cada $\tau_{n}$ .

Supongamos que $\{\tau_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ converge a $\tau_{0}$ con punto fijo $s_{0}$ .

Por desgracia, aquí no estoy seguro qué tipo de convergencia es necesario, pero lo que quiero mostrar es lo siguiente :

Para cualquier $u \in S$ ,
$$\lim_{k\rightarrow \infty} \tau_{k} \circ \tau_{k-1} \circ ...\circ \tau_{1} (u)=s_{0}$$

Las únicas referencias que pude encontrar fueron sobre $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty} \rightarrow s_{0}$ . Pensaba que mi conjetura podría ser válida debido a la convergencia de los mapeos y a la continuidad de las funciones de salida. Debe haber alguna $N \in$ que garantiza $\tau_{N}$ para ser una cartografía de contracción suficientemente similar a $\tau_{0}$ y mientras seguimos aplicando $\tau_{n>N}$ la función de entrada converge al punto fijo de $s_{0}$ .

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Ali dejó una respuesta, que por el momento considero correcta. En cuanto a $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty} \rightarrow s_{0}$ Dejo el siguiente teorema por si alguno lo encuentra necesario; la demostración es de F.F Bonsall "Lectures on Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis".

[Teorema] Sea $S$ sea un espacio métrico completo, y sea $\tau_{0}$ y $\tau_{k}$ sean mapeos de contracción de S hacia sí mismo con la misma Lipschitz constante $\beta < 1$ y con puntos fijos $s_{0}$ y $s_{k}$ respectivamente. Supongamos que $lim_{k \rightarrow \infty} \tau_{k}(u) = \tau(u)$ por cada $u \in S$ . Entonces $lim_{k \rightarrow \infty} s_{k}= s_{0}$

Al final, la constante de Lipschitz uniforme para cada $\tau_{k}$ parece ser una condición esencial.

Answer 1

Definir $u_{n}$ según $u_{k+1}=\tau_{k+1}(u_{k})$ . Supongamos, como se sugiere en los comentarios, $$\begin{equation*} \lim_{k\to\infty}\lVert s_{k}-s_{0}\rVert=0\qquad\text{and} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \exists \beta\in(0,1)\quad\text{s.t.}\quad\lVert\tau_{k}(u)-\tau_{k}(v)\rVert \le \beta \lVert u - v \rVert \quad\text{for all }k,u,v. \end{equation*}$$ Dejemos que $\epsilon>0$ se le dará. Elija $\delta$ tal que $\delta/(1-\beta)<\epsilon/2$ y $n$ tal que $m\ge n$ implica $(1+\beta)\,\lVert s_{m}-s_{0}\rVert<\delta$ . Entonces para $m \ge n$ tenemos $$\begin{eqnarray*} \lVert u_{m+1}- s_{0}\rVert &\le& \lVert \tau_{m+1}(u_{m})-\tau_{m+1}(s_{m+1})\rVert +\lVert s_{m+1} - s_{0}\rVert \\ &\le& \beta \lVert u_{m}-s_{m+1}\rVert +\lVert s_{m+1} - s_{0}\rVert\\ &\le& \beta \lVert u_{m}-s_{0}\rVert +(1+\beta)\lVert s_{m+1} - s_{0}\rVert. \end{eqnarray*}$$ Con $x_{n}=\lVert u_{n}-s_{0}\rVert$ y $x_{m+1}=\beta x_{m}+\delta$ para $m\ge n$ , tenemos $x_{m}$ un límite superior para $\lVert u_{m}-s_{0}\rVert$ . De hecho $$\begin{equation*} x_{n+k}=\beta^{k}x_{n}+\frac{1-\beta^{k}}{1-\beta}\delta < \beta^{k}x_{n}+\frac{1}{2}\epsilon. \end{equation*}$$ Así que elige $k$ tal que $\beta^{k}x_{n}<\epsilon/2$ y para todos $m\ge n+k$ tendremos $x_{m}<\epsilon$ .