Conversión de un estado general de QFT a otro marco de referencia inercial de cono de luz

Question

Supongamos, en un determinado marco de referencia, una QFT relativista en el tiempo $t=0$ está en el estado $$ \hat{\Psi}(t=0) |vac\rangle \quad, $$ donde $$ \hat{\Psi}(t) = \operatorname{e}^{-i\hat{H}t} \sum \limits_{n=1}^\infty \int \tilde{\operatorname{d}}x_1 \tilde{\operatorname{d}}x_2 \ldots \tilde{\operatorname{d}}x_n \; \psi_{n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) \hat{a}^\dagger_{x_1} \hat{a}^\dagger_{x_2} \ldots \hat{a}^\dagger_{x_n} \quad. $$ En esta última expresión, $\psi_{n}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ es un $n$ -función de onda de la partícula, $\tilde{\operatorname{d}}$ es una medida de integración invariante de Lorentz, y $\hat{a}^\dagger_{x}$ es el "operador de creación de posición" definido como el operador de creación de momento transformado de Fourier: $$ \hat{a}^\dagger_{x} = \int \tilde{\operatorname{d}}p \operatorname{e}^{ipx}\hat{a}^\dagger_p \quad. $$

Dado que $\hat{\Psi}(t)$ es conocido, me gustaría saber cómo es este estado en

1. Otro marco de referencia inercial con tiempo $t'$ ?
2. Coordenadas del cono de luz con el tiempo $x^+=t+x$ ? (asumiendo que la QFT está en 2d para simplificar)

El mayor problema surge del hecho de que, al cambiar a otro marco de referencia, también cambiamos la forma de foliar el espaciotiempo.

En las siguientes imágenes ilustro la cuestión con una convención algo opuesta (en realidad, esta formulación me resulta más útil). La evolución tuvo lugar en las coordenadas cebadas, y nos gustaría conocer el estado en las no cebadas:

Evolución en un marco reforzado:

Evolución en coordenadas del cono de luz:

El estado del sistema en conocido en la zona gris, con todos los operadores definidos a lo largo de los ejes temporales correspondientes. Quiero conocer el estado del sistema a lo largo de las líneas azules (lo que equivaldría a evolucionar parcialmente el sistema hacia atrás/adelante - utilizando la evolución en tiempo primado, como se muestra con las flechas).

¿Cómo puedo hacer ese cambio?

Answer 1

Para hablar de una QFT relativista, necesitamos un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con una representación unitaria del (doble cobertura de la componente conexa del) grupo de Poincare, que denotaré $U(S,a)$ , donde $S \in \text{Spin}_{1,3} \rtimes \mathbb{R}^4$ .

En una QFT relativista, se tiene un estado de vacío $|\text{VAC}\rangle$ que se supone que es invariante de Lorentz:

$$ U(S,a) |\text{VAC}\rangle = |\text{VAC}\rangle \ . $$

Para obtener otros estados (normalizables), es útil considerar operadores de campo que denotaré $\psi_\ell(x)$ , donde $x=(\vec{x},t)$ que se supone que están en representaciones de dimensión finita:

$$ U(S,a) \psi_{\ell}(x) U(S,a)^{-1} = \sum_{\ell'} D_{\ell \ell'}(S) \psi_{\ell'}(S^{-1} x -a ) \ . $$

Si vamos a considerar un bosón escalar, estos operadores son, si se elige bien la medida, sus operadores $a_x$ .

Ahora obtenemos estados normalizables en el espacio de Hilbert convolucionando con alguna función suave $f$ (aquí asumimos por simplicidad que las partículas que se crean por $\psi_\ell$ son sus propias antipartículas):

$$ | f \rangle = \int d x_1 d x_2 \cdots d x_n f_{\ell_1 \ell_2 \dots \ell_n}(x_1,x_2,\cdots x_n) \psi_{\ell_1}(x_1) \psi_{\ell_2}(x_2) \cdots \psi_{\ell_n}(x_n) |\text{VAC}\rangle \ . $$

Hasta ahora sólo he reformulado la pregunta en una notación más estándar, pero creo que ahora debería estar claro lo que hay que hacer: la elección de diferentes coordenadas se puede hacer en la integral dejando que $x \mapsto x' = x'(x)$ . Entonces el estado es

$$ | f \rangle = \int d x'_1 d x'_2 \cdots d x'_n \left|\prod_{i} J(x_i)\right| f_{\ell_1 \ell_2 \dots \ell_n}(x_1,x_2,\cdots x_n) \psi_{\ell_1}(x_1) \psi_{\ell_2}(x_2) \cdots \psi_{\ell_n}(x_n) |\text{VAC}\rangle \ , $$

donde en la integral las variables $x_i$ se consideran dependientes de $x'_i$ . Si la transformación de coordenadas elegida es una transformación de Poincare, $x = S^{-1} x' - a$ entonces se puede utilizar la ley de tranformación de los campos y obtener una representación del vector $|f\rangle$ con alguna función diferente $f'$ . Por ejemplo, en el caso $n=1$ :

$$ |f\rangle = U(S,a) |f'\rangle \ , \quad f'_\ell(x) = \sum_{\ell'} D_{\ell' \ell}(S) f_{\ell'}(S^{-1} x - a) \ .$$

Esto permite, por ejemplo, calcular el cambio de su coordenada temporal a las coordenadas del cono de luz.

Hay una observación más: se puede tomar el límite que $f$ sólo se admite en un tramo de tiempo - los argumentos anteriores siguen siendo válidos. Sin embargo, hay que tener más cuidado, ya que en las teorías que interactúan esto puede llevar a que el vector no sea normalizable.