Paradoja básica de Simpson

Question

Tengo una pregunta sobre algo que dijo mi profesor de estadística sobre el siguiente problema:

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Hay dos hospitales llamados Mercy y Hope en tu ciudad. Debes elegir uno de ellos para someterte a una operación. Decides basar tu decisión en el éxito de sus equipos quirúrgicos. Afortunadamente, con el nuevo plan de salud, los hospitales dan datos sobre el éxito de sus operaciones, desglosados en cinco grandes categorías de operaciones. Supongamos que obtiene los siguientes datos de los dos hospitales:

Mercy Hospital
Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366
Hope Hospital 
Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

Se observa que, en todos los tipos de operaciones, la Misericordia tiene un mayor índice de éxito que la Esperanza, aunque ésta tiene el mayor índice de éxito global. ¿Qué hospital elegirías y por qué (elige dos respuestas)?

A) Mercy; ya que iría para una operación específica, quiero el hospital que tenga la mejor tasa de éxito para esa operación.

B) La esperanza; como hacen menos operaciones en todas las categorías, no son "felices con las operaciones" como el Mercy.

C) Esperanza; este es un ejemplo de la paradoja de Simpson y siempre debemos elegir la conclusión "obvia".

D) El Mercy; mirando la columna E, el Mercy hace claramente cirugías más difíciles y por lo tanto es probablemente un mejor hospital.

E) La esperanza; tiene la mejor tasa de éxito global.

F) Misericordia; este es un ejemplo de la paradoja de Simpson y siempre debemos elegir lo contrario de la conclusión "obvia".

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Mi pregunta ni siquiera es sobre la ocurrencia de la paradoja de Simpson en esta situación. Mi pregunta es simplemente sobre el hecho de que mi profesor insiste en que A) y D) son las respuestas correctas en lugar de A) y F). Él dice,

"Dado que la tasa de éxito es tan baja para las cirugías de tipo E, podemos concluir que son difíciles y no sólo infrecuentes. Por ello, el Mercy probablemente tenga mejores equipos/doctores en comparación con el Hope".

No entiendo cómo puede insinuar con base estadística que puede decir que el Mercy hace "cirugías más difíciles". Es obvio que el Mercy tiene mejor tasa de éxito en las cirugías de tipo E, pero por qué eso significa que hacen "cirugías más difíciles". Creo que me están jodiendo con la redacción de este problema y el profesor no cede. ¿Puede alguien explicarme por qué estoy equivocado o cómo puedo explicarle esto al profesor?

Answer 1

Creo que A y E no son una buena combinación, porque A dice que debes elegir a Mercy y E dice que debes elegir a Hope.

A y D tienen la virtud de defender la misma opción. Pero, examinemos la línea de razonamiento en D con más detalle, ya que esa parece ser la confusión. La probabilidad de éxito de las cirugías sigue el mismo orden en ambos hospitales, siendo el tipo A el que tiene más probabilidades de éxito y el tipo E el que tiene menos. Si se hace un colapso sobre los hospitales (es decir, se ignoran), se puede ver que la probabilidad marginal de éxito de las cirugías es:

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

Porque E es mucho menos probabilidades de éxito, es razonable imaginar que es más difícil (aunque en el mundo real también existen otras posibilidades). Podemos extender esta línea de pensamiento a los otros cuatro tipos también. Ahora veamos qué proporción de las cirugías totales de cada hospital son de cada tipo:

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

Lo que observamos aquí es que el Hope tiende a realizar más cirugías fáciles A-C (y especialmente B y C), y menos cirugías difíciles como la D. La E es bastante infrecuente en ambos hospitales, pero, por si sirve de algo, el Hope realiza un porcentaje mayor. No obstante, el efecto de la Paradoja de Simpson va a ser impulsado principalmente por B-D (no por la columna E, como sugiere la opción de respuesta D).

La paradoja de Simpson se produce porque las cirugías varían en dificultad (en general) y también porque las N son diferentes. Lo que hace que esto sea contrario a la intuición son las diferentes tasas de base de los distintos tipos de cirugías. Lo que ocurre sería fácil de ver si ambos hospitales hicieran exactamente el mismo número de cada tipo de cirugía. Para ello, basta con calcular las probabilidades de éxito y multiplicarlas por 100; así se ajustan las diferentes frecuencias:

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

Ahora, como ambos hospitales hicieron 100 de cada cirugía (500 en total), la respuesta es obvia: el Mercy es el mejor hospital.

Answer 2

Ninguna de las respuestas es totalmente infundada. Pero TODAS suponen un conocimiento externo importante y no pueden darse por correctas estrictamente en base a las estadísticas.

A, B, D y E requieren suposiciones sobre los factores que hacen que los pacientes elijan un hospital en lugar de otro; el proceso por el que se emparejan los médicos y los pacientes, la medida en que las tasas de éxito son atribuibles a clases específicas de operaciones frente a factores compartidos como la UCI, y así sucesivamente.

En el mundo real podríamos considerar legítimamente muchos factores alternativos, como los proveedores de pago que el hospital acepta oficialmente, la socioeconomía y las tasas de obesidad del vecindario, si se trata de un hospital universitario (en cuyo caso la tasa de éxito cae en picado cuando llegan nuevos internos y tenemos que considerar la mezcla mensual), y un largo etcétera.

Obviamente, podemos hacer y hacemos suposiciones razonables sobre estos factores, pero sin abordarlos específicamente o excluirlos del problema, es imposible decir si una respuesta es "correcta" o no.

Answer 3

@gung ha dado una respuesta muy completa, pero hay una razón más por la que la D es una respuesta correcta a la pregunta: Los mejores hospitales hacen más operaciones difíciles porque son mejores. Es decir, si una persona llega al Hospital Hope para la operación E (la más difícil) puede que la manden al Mercy porque en el Hope no saben hacerla.

Esto ocurre incluso en el mundo real, ya que los casos más difíciles se envían a hospitales más grandes o más especializados.