f es continua en x = a

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua definida en $\mathbb{R}$

1. En caso de $f(0)=-1$ Demostrar que existen valores $x>0$ con $f(x)<0$
2. En caso de $f(1)=1$ Demostrar que existen valores $0<x<1$ con $f(x)>0$

Sí, es cierto, se supone que debo usar la definición de continuidad aquí

$f$ es continua en x = a si $$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in I \quad \Big[|x - a| <\eta \Rightarrow|f(x) - f(a)|<\varepsilon\Big].$$

• Para probar la pregunta $1$ es suficiente con tomar $a=0,\ \varepsilon= 1 \implies \exists \eta > 0 \ |x| <\eta \Rightarrow|f(x) - f(0)|<1 $ $|f(x)-f(0)|<1 \implies f(x) <f(0) + |f(x) - f(0)| < 0$

Entonces $f(x)<0$ y $\exists \eta > 0, \text{ such that } |x| <\eta$ aquí estoy atascado como puedo decir que $\exists \eta > 0, \text{ such that } |x| <\eta \implies x>0$ no puedo ver

• Para demostrar la pregunta 2: basta con tomar $a=1,\ \varepsilon= 1 \implies \exists \eta > 0 \ |x| <\eta \Rightarrow|f(x) - f(1)|<1 $ $|f(x)-f(1)|<1 \implies f(x)> f(1) - |f(x) - f(1)| > 0$

Entonces $f(x)>0$ y $\exists \eta > 0, \text{ such that } |x-1| <\eta$ aquí estoy atascado como puedo decir que $\exists \eta > 0, \text{ such that } |x-1| <\eta \implies 0<x<1$ no puedo ver

cualquier ayuda será muy apreciada

Answer 1

Pregunta 1): Para cualquier $x$ con $\left|x\right|<\eta$ es cierto que $f\left(x\right)<0$ . Por lo tanto, es cierto para, por ejemplo $x=\frac{1}{2}\eta>0$ .

pregunta 2): Para cualquier $x$ con $\left|x-1\right|<\eta$ es cierto que $f\left(x\right)>0$ . Por lo tanto, es cierto para, por ejemplo $x=\max\left(1-\frac{1}{2}\eta,\frac{1}{2}\right)\in\left(0,1\right)$ .

Answer 2

Supongamos que

$f(0)=-1$ y $f(x)\ge0$ para todos $x>0$ .

Entonces, para cada $\delta>0$ ,

tenemos $f(\delta)-f(0)\ge1$ ,

por lo que f no puede ser continua en x=0 (Elegir $\epsilon=\frac{1}{2}$ )

Análogamente, se puede demostrar que f(1)=1 implica que f(x)>0 para alguna x con $0<x<1$ utilizando $f(1)-f(1-\delta)\ge1$ para todos $\delta$ con $0<\delta<1$ , si $f(x)\le0$ para todo x con $0<x<1$

Answer 3

Para $1$ Hemos llegado a la conclusión de que $\forall x\;(\;|x|<\eta\implies |f(x)+1|<1\;)$ para algunos $\eta>0$ . Así, para $x_0=\frac12 \eta>0$ ya que $|x_0|<\eta$ concluimos, $|f(x_0)+1|<1$ lo que implica $f(x_0)<0$ .

Del mismo modo, para $2$ Sabemos que $\forall x\;(\;|x-1|<\eta\implies |f(x)-1|<1\;)$ para algunos $\eta>0$ . ¿Puedes encontrar un $x$ que está dentro de $(0,1)$ pero a una distancia inferior a $\eta$ de $1$ ?

Answer 4

Para demostrar la pregunta 1, basta con ver $f(x)$ en $I = \mathbb{R}_{\ge 0}$ (el conjunto de todos los números reales no negativos), y entonces se puede ver que existe un $x > 0$ tal que $f(x)<1$ utilizando su método. Esto se debe a que si $f$ es continua en $\mathbb R$ es continua en cualquier subconjunto de $\mathbb R$ .

En cuanto a la pregunta 2, sólo hay que examinar $f$ en el intervalo cerrado $I = [0,1]$ , de nuevo $f$ es continua en este intervalo y el resultado deseado se deduce inmediatamente de lo que ya has demostrado.