¿Qué significa el delta al cuadrado?

Question

Sé que $\Delta x = x_2 - x_1$ . Esto es bien conocido Por lo tanto, se deduce que $\frac{\Delta a}{\Delta b}$ = $\frac{a_2 - a_1}{b_2 - b_1}$ (¡A menos que me haya perdido una clase de matemáticas elementales!)

Ahora bien, he encontrado una ecuación en química, mientras leía, que le da la vuelta a este principio. Propone que al considerar el segundo en un conjunto de valores: $\frac{\Delta^2 a}{\Delta b^2} = (a_3 - a_2) \times \frac{1}{\Delta b}$

Mi problema con esto es que $a_3$ aún no se ha medido, sólo tenemos $a_1$ y $a_2$ ¿cómo puede ser esto?

En segundo lugar, proponen esto: $\frac{\Delta \left(\frac{\Delta a}{\Delta b}\right)}{\Delta b} = \frac{\Delta^2 a}{\Delta b^2}$

¿Puede alguien ayudar con la lógica detrás de la primera ecuación y el álgebra detrás de la segunda?

Answer 1

La expresión $\frac{\Delta^2a}{\Delta b^2}$ es probablemente una aproximación por diferencias finitas a la segunda derivada. El numerador es el segunda diferencia hacia adelante : $$\Delta^2 a_i=\Delta a_{i+1}-\Delta a_i=(a_{i+2}-a_{i+1})-(a_{i+1}-a_i)=a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i.$$

Las diferencias finitas pueden utilizarse para aproximar las derivadas. Esto se suele hacer con un paso uniforme $h_x$ entre los puntos de muestreo. Así, una aproximación de primer orden a la segunda derivada de una función utilizando diferencias es $\frac{a_{i+2}-2a_{i+1}+a_i}{h_x^2}+O(h_x)$ . Basado en lo que has escrito, el texto parece utilizar $(b_{i+2}-b_{i+1})(b_{i+1}-b_i)=\Delta b_{i+1}\Delta b_i$ para el denominador a fin de tener en cuenta el espaciado no uniforme de las muestras. La notación parece entonces simplificarse a costa de hacerla más confusa, al suprimir los índices y combinar las dos diferencias en el denominador en $\Delta b^2$ . Por supuesto, si el $b$ 's son uniformemente espaciados, entonces todo está bien. De hecho, la ecuación $\frac{\Delta^2a}{\Delta b^2}=\frac{\Delta\left(\frac{\Delta a}{\Delta b}\right)}{\Delta b}$ sólo tiene sentido si lo son.

La definición $\frac{\Delta^2 a}{\Delta b^2} = (a_3 - a_2) \times \frac{1}{\Delta b}$ Por otro lado, no tiene sentido para mí. Parece que falta algo. La expresión anterior para $\frac{\Delta^2a}{\Delta b^2}$ puede reescribirse como $\frac{\Delta a_{i+1}}{\Delta b_{i+1}}\cdot\frac1{\Delta b_i}-\frac{\Delta a_i}{\Delta b_i}\cdot\frac1{\Delta b_{i+1}}$ que es sugerente, pero no explica del todo esta definición.

Answer 2

$\frac{\Delta \left(\frac{\Delta a}{\Delta b}\right)}{\Delta b}$ sólo puede calcularse cuando ha habido dos etapas de cambio.

La primera serie de cambios es de (a $_{1}$ , b $_{1}$ ) a (a $_{2}$ , b $_{2}$ ) y la segunda serie de cambios se produce desde (a $_{2}$ , b $_{2}$ ) a (a $_{3}$ , b $_{3}$ ).

De ahí su primera $\frac{\Delta a}{\Delta b}$$ _{1} $ = $ \frac{a_2 - a_1}{b_2 - b_1}$

y su segundo $\frac{\Delta a}{\Delta b}$$ _{2} $ = $ \frac{a_3 - a_2}{b_3 - b_2}$

Por lo tanto, su $\frac{\Delta \left(\frac{\Delta a}{\Delta b}\right)}{\Delta b}$ = $\frac{\frac{\Delta a}{\Delta b}_{2} - \frac{\Delta a}{\Delta b}_{1}}{b_3 - b_1}$

Ahora creo que el cálculo algebraico y la manipulación deberían llevarte al hecho de que el RHS y el LHS son iguales..

Answer 3

Si alguna vez se encuentra con este problema, sepa que se trata realmente de una cuestión de diferenciación y no simplemente cambiar. Es cierto que hay un cierto solapamiento entre ambos, pero el $\Delta b^2$ en el denominador te confundirá si no sabes que es simplemente una notación para "wrt b", y no un divisor