Problemas relacionados con las funciones continuas sobre los números reales

Question

Dejemos que $X$ sea un subconjunto de $\mathbb R$ y que $f, g : X \to X$ sean dos funciones continuas tales que $f(X) \cap g(X) = \emptyset$ y $ f(X) \cup g(X) = X.$ Entonces, ¿cuál de los siguientes conjuntos no puede ser igual a $X.$

1. $[0,1]$
2. $[0,1)$
3. $(0,1)$
4. $ \mathbb R.$

Me parece que es muy difícil empezar. Cualquier sugerencia será muy apreciada. Gracias.

Actualización:

Sólo estaba dando una idea de la siguiente manera- Si $X = [0,1]$ entonces si $f(x)$ es abierto(o cerrado) entonces por continuidad de $f$ , $X$ se convierte en abierto(o cerrado) y entonces desde la continuidad de $g$ , $X$ se convierte en cerrado (o abierto), lo que en cualquier caso es una contradicción. Así que $X \neq [0,1].$ (Aquí ambos $f(X)$ y $g(X)$ no puede ser abierto (o cerrado) como $[0,1]$ está conectado).

Ahora bien, si $X = (0,1)$ entonces no surge ninguna contradicción en el argumento anterior por lo que puede ser posible. Para $X=\mathbb R$ de manera similar se puede demostrar que es un caso posible. De esta manera me llama la atención el caso en el que $ X =[0,1).$

¿Estoy pensando en la dirección correcta?

Answer 1

$X=[0,1]$ es realmente imposible, ya que de lo contrario $f[X], g[X]$ serían ambos compactos (por tanto, cerrados) y formarían una desconexión para $[0,1]$ que está conectado. Contradicción.

Answer 2

Utilizaremos el hecho de que para una función $f: X \subset \mathbb{R} \to X$ definida en un dominio compacto $X$ existe dos puntos $x_-$ y $x_+$ tal que $$ f(x_-) = \min_{x \in X}f(x) \quad f(x_+) = \max_{x \in X} f(x). $$

Caso $X = [0,1]$ : ya que $f$ y $g$ ambos son continuos, existen cuatro puntos $u_+,u_-$ (asociado a $f$ ) y $v_+, v_-$ (asociado a $g$ ) en el que se alcanzan los extremos.

Reclamación: Tenemos $f(u_-) \leq f(u_+) < g(v_-) \leq g_+)$ . La primera y la última desigualdad son triviales. La interesante es la segunda.

Supongamos que no es cierto. Entonces es cierto $f(u_+) \geq g(u_-)$ y se deduce que $\varnothing \neq [\max\{f(u_-),g(v_-)\}, \min\{f(u_+), g(v_+)\} \subset f(X) \cap g(X)$ lo que contradice una de sus suposiciones. Por lo tanto, la afirmación se mantiene.

Ahora bien, dado que $y = \frac{f(u_+)+g(u_-)}{2}$ . $y \in X$ (ya que $X$ está conectado y contiene piezas por debajo y por encima de este número) pero $y \notin f(X) \cup g(X)$ .

Tenga en cuenta que, si $X$ no estén conectados, se podría utilizar este tipo de pensamiento en cada componente conectado.

Caso 2: $X = [0,1)$ : intenta encontrar ejemplos, de manera que ambas funciones se traduzcan la una de la otra.

Caso 3: $(0,1)$ : adaptar el caso 4

Caso 4: $\mathbb{R}$ : intenta una parábola hacia abajo con una función exponencial.

Espero que esto ayude.