Volumen de un n-simplex

Question

Es bastante tedioso mostrar el uso del Teorema de Fubini y la inducción en $n$ que el volumen de la región $x_1+x_2+...+x_n \leq 1$ con $x_1,...,x_n$ no negativo es $\frac {1}{n!}$ . ¿Hay una forma más fácil de ver esto?

Answer 1

¿Cuál es la probabilidad de que una secuencia aleatoria de $n$ números en $[0,1]$ está arreglado? es decir, que $y_1,y_2, \dots ,y_n$ ser variables aleatorias uniformes e independientes en $[0,1]$ . Entonces la probabilidad $P(y_1 \leq y_2 \leq \dots \leq y_n)= \frac {1}{n!}$ .

Deje que $A=(a_{ij})$ ser la matriz de tal manera que $a_{ij}=1$ si $i \geq j$ y $a_{ij}=0$ de $i<j$ . Luego $\det A = 1$ desde $A$ es inferior-triangular y $a_{ii}=1$ para todos $i$ . Por otro lado, si tomas los dos juegos:

$$S=\{(x_1, \dots ,x_n)^T: 0 \leq x_i \leq 1: \sum x_i \leq 1\}$$

y $$T=\{(x_1, \dots ,x_n)^T: 0 \leq x_1 \leq x_2 \dots \leq x_n \leq 1\}$$

Luego $T$ es la imagen de $S$ bajo la transformación $A$ es decir.., $AS=T$ . Así que $$\frac {1}{n!}= \mathrm {vol}(T) = \det A \cdot\mathrm {vol}(S) = \mathrm {vol}(S)$$