$\lim_{x\to \infty} \int_x^{2x} \frac {1}{t} dt$ utilizando la regla de L'Hospital

Question

Usando la regla de L'Hospital cómo puedo encontrar $$\lim_{x\to \infty} \int_x^{2x} \frac {1}{t} dt$$ Se puede observar fácilmente que $\int_x^{2x} \frac {1}{t} dt = \ln(2x)-\ln (x)=\ln2$ para que $\lim_{x\to \infty} \int_x^{2x} \frac {1}{t} dt= \ln 2$ . Pero en este caso debo utilizar la regla de L'Hospital. ¿Pueden darme pistas, por favor?

Creo que se puede dividir $\int_x^{2x} \frac {1}{t} dt$ a $\int_1^{2x} \frac {1}{t} dt-\int_1^x \frac {1}{t}dt$ para obtener el límite inderminado $\infty-\infty$ . ¿Qué transformación puedo utilizar para obtener la forma indeterminada $\frac {0}{0}$ para aplicar la regla de L'Hospital?

Answer 1

Tal vez quieran algo así,

$\lim\limits_{x\to\infty} \int\limits_{x}^{2x} \frac{1}{t}dt = \lim\limits_{x\to\infty} \ln(2x)-\ln(x) = \lim\limits_{x\to\infty}\ln(\frac{2x}{x}) = \ln(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x}{x}) = \ln(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{1}) = \ln(2)$

donde hemos utilizado que $\ln(x)$ es una función continua en su dominio para pasar el límite al interior.