Ámbito complejo y real de un conjunto de vectores complejos

Question

Tengo un conjunto de vectores $\mathcal{V}=\{ v_1, \dots ,v_n \}$ en $\mathbb{C}^d$ y llamo a $V \in \mathbb{C}^{d{\times}n}$ la matriz que tiene estos vectores como columnas.

Me interesa la dimensión del tramo lineal de estos vectores en los campos $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . En particular, yo sospechoso que $$\mathrm{dim} \left[ \mathrm{span}_{\mathbb{C}} \mathcal{V} \right]= \mathrm{dim} \left[ \mathrm{span}_{\mathbb{R}} \mathcal{V} \right] \iff \mathrm{Im}\left(V^\dagger V \right) = \mathbb{0}_n$$ , es decir, la dimensión del espacio vectorial real de las combinaciones lineales con coeficientes reales y la dimensión del espacio vectorial complejo abarcado por la combinación lineal con coeficientes complejos son iguales si y sólo si la matriz Gram de los vectores es una matriz simétrica real.

No sé si esto es una afirmación trivial o estándar, pero si alguien sabe la respuesta, tiene alguna referencia para mirar o tiene una pista de la prueba sería muy apreciado.

Answer 1

La afirmación no es cierta en general. Considere $v_1, v_2 \in \mathbb{C}^2$ dado por $$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} i \\ 0\end{bmatrix}$$

Entonces $\dim_{\mathbb{R}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{v_1, v_2\}\big] = 2 = \dim_{\mathbb{C}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{C}}\{v_1, v_2\}\big]$ pero $$V^*V = \begin{bmatrix} 2 & i \\ -i & 0\end{bmatrix}$$ no es real.

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En cambio, la otra dirección es cierta. Supongamos que $V^*V$ es real. WLOG asume que $v_1, \ldots, v_r$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ para algunos $1 \le r \le d$ . Afirmamos que también son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$ .

Supongamos que $\sum_{i=1}^r \alpha_iv_i = 0$ para algunos escalares $\alpha_i \in \mathbb{C}$ . Multiplicando esto por $v_j$ obtenemos $$\sum_{i=1}^r\alpha_i\underbrace{\langle v_i, v_j\rangle}_{\in\mathbb{R}} = 0, \quad\forall j =1, \ldots, r$$

En particular $$\sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)\langle v_i, v_j\rangle = 0, \quad\forall j =1, \ldots, r$$

Multiplicando esto por $\operatorname{Im}\alpha_j$ obtenemos $$\left\langle\sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)v_i, (\operatorname{Im}\alpha_j)v_j \right\rangle = \sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)(\operatorname{Im}\alpha_j)\langle v_i, v_j\rangle = 0, \quad\forall j =1, \ldots, r$$

Resumiendo esto $j=1, \ldots, r$ obtenemos

$$\left\|\sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)v_i\right\|^2 = \left\langle \sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)v_i, \sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_j)v_j\right\rangle = 0$$ así que $\sum_{i=1}^r(\operatorname{Im}\alpha_i)v_i = 0$ lo que implica $\operatorname{Im}\alpha_i = 0$ para $i=1, \ldots, r$ desde $v_1, \ldots, v_r$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, $\alpha_i \in \mathbb{R}$ y así $\alpha_i = 0$ para $i=1, \ldots, n$ .

Por lo tanto,

\begin{align} \dim_{\mathbb{R}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{v_1, \ldots, v_n\}\big] &= \dim_{\mathbb{R}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{v_1, \ldots, v_r\}\big] \\ &= r\\ &= \dim_{\mathbb{C}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{C}}\{v_1, \ldots, v_r\}\big] \\ &= \dim_{\mathbb{C}}\big[\operatorname{span}_{\mathbb{C}}\{v_1, \ldots,v_n\}\big] \end{align}