En mi tiempo de estudio de las matemáticas siempre he encontrado una sutil confusión con la definición de un punto límite. Sé que es posible que diferentes definiciones den los mismos resultados, y que los problemas con esto podrían ser sintácticos más que otra cosa, pero esta sutileza me molesta mucho.
Dado un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$ y un subconjunto $A \subseteq X$ He visto definiciones de que un punto límite es cualquier elemento $p \in X$ tal que cada vecindad de $p$ se cruza con $A$ en algún momento que no sea $p$ . Pero también he visto la definición de que $p$ es un punto límite siempre que si $U$ es una vecindad de $p$ entonces $U \cap A \neq \emptyset$ donde este último puede admitir la posibilidad de que $A \cap U = \{p\}$ .
Para ilustrar un caso en el que estas definiciones contrapuestas pueden resultar confusas, consideremos $\mathbb{R}$ con la topología de punto particular centrada en $0$ (es decir, cualquier $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ que contiene $0$ está abierto). El intervalo $(1,2)$ es cerrado en esta topología ya que su complemento $(-\infty,1)\cup (2,\infty)$ está abierto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ el conjunto $\{0,x\}$ es abierta en esta topología. Esperamos que como $(1,2)$ es cerrado que debe contener todos sus puntos límite. Si seguimos la segunda definición de punto límite sobre la primera, encontramos que si $x$ es un punto límite de $(1,2)$ entonces deberíamos tener $\{0,x\} \cap (1,2) \neq \emptyset$ pero esto sólo ocurre cuando $x \in (1,2)$ . Sin embargo, esto demuestra que $x$ tiene una vecindad que interseca $(1,2)$ que no contiene ningún otro punto de $(1,2)$ Así que $x$ no puede ser un punto límite de este intervalo si nos atenemos a la primera definición. Además $(1,2)$ no tiene puntos límite según la primera definición.
Quiero reconocer que la primera definición está ahí para asegurarse de que no se confunden los puntos aislados con los puntos límite. Por ejemplo, en la topología euclidiana sobre $\mathbb{R}$ nunca miraríamos el conjunto $\{0\}\cup(1,2)$ y decir $0$ es un punto límite de este conjunto. ¿Hay algo que se me escapa? ¿Hay realmente alguna ambigüedad en estas definiciones o es que no lo veo? Espero con interés el debate.
