¿Cómo puedo demostrar que $\sum_{i=1}^n\left(\prod_{q=0}^p (i+q)\right) = \frac{1}{p+2}\prod_{s=0}^{p+1}(n+s)$ ?

Question

Me gustaría saber cómo se puede demostrar esta suma, basándose en una Problema del concurso de matemáticas de Brasil :

$$\sum_{i=1}^n\left(\prod_{q=0}^p (i+q)\right) = \frac{1}{p+2}\prod_{s=0}^{p+1}(n+s)$$

Para intentar solucionarlo, he conseguido:

Si,

$$ S(x)=\sum_{i=0}^{n}x^{i+p}$$

Entonces,

$$\frac{\mathrm{d}^{p+1}S(x)}{\mathrm{d} x^{p+1}}=\sum_{i=0}^{n}\left(\left( \prod_{q=0}^{p}\left( i+ q \right)\right)x^{i-1}\right)$$

Sin embargo, no veo cómo seguir adelante.

Answer 1

En primer lugar, demostremos por inducción que para todo $n \in \mathbb{N}^*$ y todos $p \in \mathbb{N}$ , $$\sum_{i=1}^n {p+i \choose i-1} = {n+p+1 \choose n-1} \quad \quad \quad (1)$$

Para $n = 1$ Está bien. Ahora supongamos que es cierto para un número entero $n \geq 1$ ; entonces tienes, usando la hipótesis de inducción y la fórmula de Pascal, $$\sum_{i=1}^{n+1} {p+i \choose i-1} = \sum_{i=1}^n {p+i \choose i-1} + {n+p+1 \choose n} = {n+p+1 \choose n-1} + {n+p+1 \choose n} = {n+p+2 \choose n}$$

Así que la fórmula $(1)$ es cierto. Ahora puede demostrar su igualdad. De hecho

$$\sum_{i=1}^n \left( \prod_{q=0}^p (i+q)\right) = \sum_{i=1}^n \frac{(p+i)!}{(i-1)!} = (p+1)!\sum_{i=1}^n {p+i \choose i-1}$$

Utilizando la fórmula $(1)$ , se obtiene $$\sum_{i=1}^n \left( \prod_{q=0}^p (i+q)\right) = (p+1)!{n+p+1 \choose n-1} = \frac{1}{p+2}(p+2)! \frac{(n+p+1)!}{(n-1)!(p+2)!}$$ $$= \frac{1}{p+2} \times \frac{(n+p+1)!}{(n-1)!} = \frac{1}{p+2}\prod_{s=0}^{p+1}(n+s)$$