Es un ejercicio fácil utilizando la recursión transfinita para demostrar lo siguiente (en ZFC):
Existen conjuntos $S,T$ que la partición $\mathbb{R}_{>0}$ de manera que cada uno de $S$ y $T$ se cierra bajo la adición.
Es igualmente fácil, utilizando una base de trascendencia de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$ , para demostrar la siguiente generalización:
Para cualquier cardenal $k < \#(\mathbb{R})$ es posible dividir $\mathbb{R}_{>0}$ en $k$ partes, cada una de las cuales está cerrada bajo la adición.
El problema, por supuesto, es que la recursión transfinita depende de AC. Mi pregunta es, ¿se puede demostrar la primera versión débil en ZF (sin elección)? Si es así, sospecho que ZF puede probar:
Para cualquier finito $k$ es posible dividir $\mathbb{R}_{>0}$ en $k$ partes, cada una de las cuales está cerrada bajo la adición.
También tengo curiosidad por saber si ZF puede demostrar algo de lo siguiente:
$\mathbb{R}_{>0}$ puede dividirse en un número contable de partes, cada una de las cuales es cerrada bajo la adición.
$\mathbb{R}_{>0}$ puede dividirse en un número incontable de partes, cada una de las cuales se cierra con la adición.
No se me ocurre ninguna forma algebraica de dividir los reales positivos de la forma deseada. Está claro que uno de ellos debe ser incontable, pero ni siquiera veo un subconjunto incontable obvio que sea cerrado bajo adición. Supongo que ZF no puede demostrar ninguno de ellos, pero tal vez sea sólo porque no veo cómo hacerlo.
