¿Cómo puedo resolver este problema de logaritmos?

Question

Estoy tratando de resolver este problema:

Si $\log_{27}(a)=b$ , encontrar $\log_{\sqrt[6]{a}}\sqrt{3}$

Sin embargo, no soy capaz de ver ninguna conexión en esas informaciones dadas. ¿Cómo puedo resolver este logaritmo?

Answer 1

Dado $\log_{27}(a) = b$ entonces $a = 27^b$ . Entonces: $$\sqrt[6]{a} = (27^b)^\frac{1}{6} = (3^{3 \cdot \frac{1}{6}})^b = 3^\frac{b}{2}$$ $$\log_{\sqrt[6]{a}}x = \log_{3^\frac{b}{2}}x = \frac{\log_{3}x}{\log_{3}3^\frac{b}{2}} = \frac{2}{b}\log_{3}x$$ Desde $x = \sqrt{3}$ entonces $$\frac{2}{b}\log_{3}x = \frac{2}{b}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{b}$$