Tengo algunas dificultades con el siguiente problema:
Dejemos que $f : k k^3$ sea el mapa que asocia $(t, t^2, t^3)$ a $t$ y que $C$ sea la imagen de $f$ (el cúbico retorcido). Demuestre que $C$ es un conjunto algebraico afín y calcular $I(C)$ . Demuestre que el álgebra afín $(C)=k[X,Y,Z]/I(C)$ es isomorfo al anillo de polinomios $k[T]$ .
He encontrado una solución en el caso de que $k$ es un campo infinito:
Claramente $C$ es el conjunto algebraico afín $C=\big<X^3-Z,\;X^2-Y\big>$ y además $\big<X^3-Z,\;X^2-Y\big>\subseteq I(C) $ . Para demostrar la inclusión " $\supseteq$ ", deja $F$ sea un polinomio con $F\in I(C)$ . Entonces podemos escribir (gracias a las divisiones sucesivas): $$F(X,Y,Z)=(X^3-Z)\cdot Q(X,Y,Z)+(X^2-Y)\cdot P(X,Y)+R(X).$$ Para todos $t\in k$ tenemos $$0=F(t,t^2,t^3)=R(t)$$ y como $k$ es infinito entonces $R$ es el polinomio cero y $I(C)=\big<X^3-Z,\;X^2-Y\big>$ .
Ahora bien, como la función $f$ es un isomorfismo entre $C$ y $k$ se deduce que $\Gamma(C)\cong \Gamma(k)=k[T]$ .
No puedo encontrar el ideal $I(C)$ si el campo $k$ es finito.
