Dejemos que $P$ sea un conjunto de tres puntos no colineales en $\mathbb{R}^2$ . Forma iterativa la Triangulación de Delaunay $\cal T$ de $P$ y luego aumentar $P$ por los centros de las circunferencias de todos los triángulos en $\cal T$ , repitiendo estos dos pasos:
(1) ${\cal T} = \operatorname{DelTri}( P )$ .
(2) $P = P \cup \{ x : x \; \textrm{is center of circumcircle of}\; \triangle \in {\cal T} \}$ .
Parece que, después de algunas iteraciones, $P$ contiene un triángulo de área exactamente cero de tres puntos colineales, o tres puntos casi colineales cuyo centro de la circunferencia se encuentra lejos de de la zona inicial $P$ . Por ejemplo:
Después de $5$ iteraciones, subconjuntos de $3$ se producen puntos casi colineales.
Empezar con un triángulo equilátero lleva a la colinealidad en cuatro pasos:
Inicialmente $P$ consiste en las esquinas del triángulo equilátero.
Q . ¿Hay algún triángulo inicial que haga no llevar a a $3$ -puntos-triángulo colineal o casi colineal?
Por casi colineal Quiero decir que, como el número de iteraciones aumenta, el diámetro de $P$ crece sin límites: crece porque algunos triángulos se vuelven muy planos y sus circuncentros se alejan. Verdaderamente $3$ -puntos-colineales arrojaría al circuncentro a $\infty$ . Me pregunto si estas condiciones se dan necesariamente para cualquier triángulo inicial.
Añadido . Sólo una pequeña cantidad de datos, pero $25$ triángulos iniciales aleatorios con coordenadas uniformes en $[-1,1]$ cada uno alcanza un triángulo de área menor que $10^{-10}$ en $10$ iteraciones.
