Un problema de resolución de ecuaciones funcionales

Question

Si $f(x),\forall x\in\mathbb{R}$ es continua y diferenciable, y satisface:

1. $f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}$
2. $f\left(1\right)=\dfrac{3}{2}$

Cómo probarlo:

$$f(x)=2^{-x-1} \left(\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x\right)$$

¿Es esta la única solución para $f(x)$ ? ¿Podemos eliminar el continous and differentiable requisito para $f(x)$ para demostrar la unicidad de la solución?

Answer 1

No es una solución, sino algunas observaciones:

Con la sustitución

$$\begin{aligned} u &=x_1 + x_2 \\ t &= x_1 - x_2 \end{aligned}$$

podemos escribir

$$f(u) + f(t) = 2 f\left(\frac{u+t}{2}\right) f\left(\frac{u-t}{2}\right)$$

Para $u = t = 1$ obtenemos

$$2f(1) = 2f(1)f(0)$$

lo que lleva a

$$f(0) = 1$$

Fijación de cualquiera de los dos $u$ ou $t$ a $1$ y la otra variable a $x$ nos da:

$$\begin{aligned} f(x) + \frac{3}{2} &= 2 f\left(\frac{x+1}{2}\right) f\left(\frac{x-1}{2}\right) \\ f(x) + \frac{3}{2} &= 2 f\left(\frac{x+1}{2}\right) f\left(\frac{1-x}{2}\right) \end{aligned}$$

Esto puede transformarse en:

$$f\left(\frac{x-1}{2}\right) = f\left(\frac{1-x}{2}\right)$$

que es equivalente a la simetría:

$$f(x) = f(-x)$$

$f(x)$ nunca puede ser $0$ . (¿Cómo demostrarlo?) Por lo tanto, debe ser positivo para todo $x$ .