Utiliza la definición ϵ-N de límite para demostrar que lim[(2n+1)/(5n-2)] = 2/5 a medida que n llega al infinito

Question

Utiliza la definición -N de límite para demostrar que lim[(2n+1)/(5n-2)] = 2/5 a medida que n va al infinito.

La forma en que lo hago es Sea > 0. Obsérvese N número natural (N) que satisface {llenar esta casilla después}< N. Se deduce que si n>=N, entonces n > {llenar esta caja más tarde}, así que para tal n, |(2n+1)/(5n-2)-2/5| = |9/(25n-10)| = 9/5|1/(5n-2)|

Se supone que debo llegar a un algo que es menos de

¿Cómo hacer esto a menos de ?

Answer 1

Pruebe a establecer su última expresión como $\epsilon$ y trabajar hacia atrás. Verás que lo siguiente funcionará:

Dado cualquier $\epsilon > 0$ , dejemos que $N$ sea cualquier número natural que sea mayor o igual que el número real: $$\dfrac{\dfrac{9}{5\epsilon}+2}{5} + 1$$ (por la Propiedad de Arquímedes, tal $N$ debe existir). Supongamos ahora que $n \geq N$ para que: \begin{align*} n \geq \dfrac{\dfrac{9}{5\epsilon}+2}{5} + 1 &\implies n > \dfrac{\dfrac{9}{5\epsilon}+2}{5} \\ &\implies 5n - 2 > \dfrac{9}{5\epsilon} \\ &\implies \epsilon > \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{5n-2} \\ \end{align*} Entonces observa eso: \begin{align*} \left| \frac{2n + 1}{5n - 2} - \frac{2}{5} \right| &= \frac{9}{5}\left| \frac{1}{5n - 2} \right| \\ &= \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{5n - 2} \\ &< \epsilon \\ \end{align*} como se desee.

Answer 2

Bueno, tienes razón en que necesitas $$\left|\frac{9}{25n-10}\right|<\epsilon.$$ Obsérvese que la fracción dada es positiva para todo $n\in\Bbb N,$ por lo que queremos $$\frac{9}{25n-10}<\epsilon.$$ Intenta resolver esa desigualdad para $n$ para que pueda descubrir un $N$ que funciona.