Grados de zócalo y último turno de resolución libre

Question

He visto en varias referencias que los grados del zócalo de un álgebra graduada artiniana $k[x_1,\ldots,x_d]/I$ se puede calcular mirando los desplazamientos del final de su resolución libre graduada. ¿Alguien conoce la prueba de esto? o una referencia de la prueba? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $S=k[x_1,\dots,x_d]$ y $I\subset S$ un ideal graduado tal que $\dim S/I=0$ . Entonces, a partir de la fórmula de Auslander-Buchsbaum obtenemos $\operatorname{pd}_SS/I=d$ . El último libre calificado $S$ -en una resolución libre mínima graduada de $S/I$ tiene la forma $\bigoplus_jS(-j)^{\beta_{dj}}$ . Es fácil ver que $\beta_{dj}=\dim_k\operatorname{Tor}_d^S(k,S/I)_j$ . Por otro lado, $\operatorname{Tor}_d^S(k,S/I)\simeq H_d(\underline x,S/I)$ , donde $H_d$ denota el $d$ La homología de Koszul. Además, es bien sabido que $H_d(\underline x,S/I)=(0:_{S/I}\underline x)=\operatorname{Soc}S/I$ y hemos terminado.