Haz de vectores en una cuádrica $Q$

Question

El problema:

Consideremos la cuádrica suave $Q=V(X_{0}X_{1}+X_{2}X_{3}+X_{4}^{2})\subset\mathbb{P}^{4}$ y la línea $L=V(X_{0},X_{2},X_{4})$ contenida en ella. Demostrar que existe un haz vectorial $F$ en $Q$ con una sección que desaparece exactamente en $L$ .

Lo más difícil es conseguir las matrices de transición. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Considera en $\mathbb P^4$ los tres haces de líneas $\mathcal L_i=\mathcal O(H_i)\; (i=0,2,4) $ asociados a los divisores $H_i=\{X_i=0\}$ .
Tienen secciones globales $s_i\in \Gamma(\mathbb P^4,\mathcal L_i)$ desapareciendo exactamente en $H_i$ .
El haz de vectores $\mathcal L_0\oplus \mathcal L_2\oplus \mathcal L_4$ tiene una sección que desaparece exactamente a lo largo de $L=H_0\cap H_2\cap H_4$ , es decir, la sección $s_0\oplus s_2\oplus s_4\in \Gamma(\mathbb P^4,\mathcal L_0\oplus\mathcal L_2\oplus\mathcal L_4)$
El haz de líneas $F=(\mathcal L_0\oplus\mathcal L_2\oplus \mathcal L_4)|Q$ entonces también tiene una sección que desaparece exactamente a lo largo de $L$ , es decir, la restricción a $F$ de la sección $s_0\oplus s_2\oplus s_4$ .

[Nótese que no son necesarias las matrices de transición].

Edición: las matrices de transición
Las matrices de transición requeridas por JSong en su comentario son fáciles de calcular.
Dado que el cociclo para $\mathcal O_{P^4}(1)$ viene dada por $g_{ij}=\frac{X_j}{X_i}$ en $\mathbb P^4$ las matrices de transición para $F$ en $Q$ son las diagonales $3\times 3$ matrices $$G_{ij}=\operatorname{diag} (\frac{z_j}{z_i},\frac{z_j}{z_i},\frac{z_j}{z_i})\quad(0\leq i,j\leq 4)$$ ( $z_i$ es la restricción de $X_i$ a $Q$ )
La sección requerida $s=s_0\oplus s_2\oplus s_4\in \Gamma(Q,F)$ que desaparece exactamente a lo largo de $L$ tiene en el gráfico $U_i=\{z_i\neq 0\}$ la expresión $$s^{(i)}(z)=\frac{ z_0}{z_i}\oplus \frac{z_2}{z_i}\oplus \frac{z_4}{z_i}\in \mathbb C^3 \quad (z\in U_i)$$