Determinantes de la matriz y volúmenes paralelos al tubo

Question

Hace poco leí la interesantísima discusión sobre los determinantes de la matriz aquí: ¿Cuál es una forma intuitiva de pensar en el determinante?

Esperaba hacer una pregunta relacionada con este tema, y decidí empezar una nueva pregunta (¡espero que esté bien!).

Los determinantes de las matrices pueden considerarse como el coeficiente por el cual un volumen orientado cambia bajo el mapeo lineal de esa matriz.

Por ejemplo, considere $Ax=y$ . Podemos considerar las entradas de $x$ y $y$ como los vértices de un $n$ -d parallelopiped. A continuación, $vol(x)$ es el volumen de ese paralelepípedo, y $vol(y)=|det(A)|vol(x)$ .

Mi pregunta tiene realmente 2 partes. La primera es si mi ejemplo anterior es una interpretación correcta. Y la segunda es, si $x \in \mathbb{R}^n$ ¿Cómo puedo calcular $vol(x)$ ?

Esto me interesa, porque si encontrar el "volumen" de un vector es fácil, entonces podemos usarlo para encontrar el determinante, es decir

$|det(A)|=\frac{vol(y)}{vol(x)}$

Answer 1

Pues bien, se puede calcular el volumen del paralelepípedo abarcado por los vectores base estándar $e_i$ con $1$ dans le $i$ 'th coordenada y $0$ en otro lugar, ¿verdad?

Así que dado un paralelepípedo atravesado por $n$ vectores $v_i$ , cuál es la matriz que mapea $e_i$ en $v_i$ ?

La solución a esto le dará otra interpretación de cómo el determinado mide los volúmenes.

EDIT: He releído tu pregunta y hay algunas cosas que quiero aclarar.

1. La expresión $vol(x)$ no tiene sentido para un vector.
2. Esto significa que la expresión $Ax = y \Rightarrow |y| = |det(A)|vol(x)$ tampoco tiene sentido.
3. Se necesita $n$ para especificar un paralelepípedo con $n$ -volumen. El volumen será cero sólo si todos los vectores son independientes. Por ejemplo, un cuadrado tiene un volumen nulo de 3.
4. Ese paralelepípedo puede definirse como $P(v_1, \ldots, v_n) = \{x: x = c_1e_1 + \ldots + c_ne_n, 0 \leq c_1, \ldots, c_n \leq 1 \}$
5. La medida determinada orientada $n$ -volumen. No mide la orientación $n-d$ volumen.