¿El espacio compacto implica un espacio secuencialmente compacto?

Question

En la clase de Topología General demostramos que si X es un espacio métrico, X es compacto si es secuencialmente compacto.

En particular, en la primera implicación asumimos que hay alguna secuencia que no tiene ninguna subsecuencia convergente a un punto en X; dejemos que Z sea el conjunto de los elementos de la secuencia entonces para cada punto x perteneciente a X existe un conjunto abierto que contiene a x y que o bien no tiene intersección con Z o bien sólo tiene x(si x pertenece a Z) ;

entonces X \Z es abierto (por lo que Z es cerrado) y cada punto de Z es un punto aislado;

X es compacta y Z es cerrada, entonces Z es compacta (para alguna prop.);

Z es un subespacio compacto de topología discreta por lo que |Z| es finito y esto es imposible porque asumimos que hay alguna secuencia que no tiene ninguna subsecuencia convergente a un punto en X

Mi pregunta es:

¿cuándo utilizo el hecho de que X es un espacio métrico? Cuando digo que hay un conjunto abierto, etc., puedo decir que para cada espacio de Hausdorff, pero sé que hay contraejemplos conocidos a esto

¿puede ayudarme?

Si algo no está suficientemente claro, por favor, pídame alguna aclaración

Answer 1

Estás usando la primera contabilidad (o secuencialidad), sobre todo, porque estás usando que un punto está en la clausura de un conjunto si hay una secuencia del conjunto que converge al punto. Esto te permite concluir que la secuencia sin subsecuencia convergente es cerrada y discreta como conjunto. Eso, junto con la Hausdorffness es lo que se utiliza de la metricidad. Más el hecho de que la compacidad secuencial da separabilidad y por tanto (!) Lindelöfness, para la implicación inversa.

Existen espacios no medibles que son compactos pero no secuencialmente compactos, los más conocidos son $\beta \Bbb N$ la compactación Cech-Stone de $\Bbb N$ y $[0,1]^I$ en la topología del producto donde $I$ es un conjunto de índices de tamaño continuo o mayor. Un espacio como $\omega_1$ en la topología de orden es secuencialmente compacto (y primero contable) pero no compacto. Así que, en general, no hay ninguna implicación entre la compacidad secuencial y la compacidad; pueden ser muy diferentes.