Demuestra: El error de la suma de Riemann es decreciente para una función determinada

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero fijo y defina $f(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{(k/n)^x-1}{x} \right)$ y $g(x)=\int_{0}^{1} \frac{t^x-1}{x} dt$ pour $x>0$ .

Demostrar que $f(x)-g(x)$ es decreciente en $x \in (0,1)$ para cualquier $n.$

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Mis pensamientos: Obsérvese que $f(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{(k/n)^x-1}{x} \right) \rightarrow \int_{0}^{1} \frac{t^x-1}{x} dt$ como $n\rightarrow \infty$ porque $f(x)$ para cualquier $n$ y $x,$ es la suma de Riemann derecha de $h(t)=\frac{t^x-1}{x}$ en $[0,1]$ . Así, queremos demostrar que la diferencia entre una suma de Riemann y la integral disminuye en $x\in(0,1).$

Desde $h(t)$ es negativo y creciente en $t \in (0,1)$ para cualquier $x>0$ , $f(x)-g(x)$ es positivo para cualquier $x>0$ . Además, se puede ver gráficamente que a medida que $x$ aumenta de $0$ a $1$ , $h(t)=\frac{t^x-1}{x}$ se contrae verticalmente hacia el $x$ -eje, por lo que parece algo intuitivo que el error de la suma de Riemann disminuya.

Con estas observaciones fuera del camino, no pude encontrar ninguna forma limpia de probar rigurosamente la afirmación deseada. Por supuesto, podemos intentar diferenciar $f(x)-g(x)$ y demostrar que el resultado es siempre negativo en $(0,1),$ pero la derivada resultante es bastante complicada.

Cualquier ayuda o información adicional será apreciada. =)

Answer 1

$$f(x)-g(x)=\int_0^1\frac{(\lceil nt\rceil/n)^x-t^x}{x}\,dt.$$ Para cada fijo $t\in(0,1)$ el integrando es idéntico a cero o decreciente (en $x$ ).

[Para $0<b<a\leqslant 1$ y $x>0$ , $x\mapsto(a^x-b^x)/x$ es decreciente, ya que $$\frac{a^x-b^x}{x}=ca^xh(cx),\quad c=\ln\frac{a}{b},\quad h(x)=\frac{1-e^{-x}}{x},$$ y $h(x)$ está disminuyendo porque $h'(x)=-(e^x-1-x)/(x^2 e^x)$ y $e^x>1+x$ .]