integración por partes $ \int xe^{-2x} dx$

Question

¿Pueden ayudarme a integrar $ \int xe^{-2x} dx$ utilizando la integración por partes?

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Hasta ahora he conseguido una respuesta usando esto $$u = x \qquad dv = e^{-2x}dx \\ du = dx \qquad v = \frac{-e^{-2x}}{2} $$ así que eso significaría que $$ - \frac{-xe^{-2x}}{2} - \int \frac{-e^{-2x}}{2}dx$$ y la respuesta final habría sido $$ \frac{-xe^{-2x}}{2} - e^{-2x} + c$$ ¿es esto correcto o debería haber intercambiado mi $u$ y $dv$ ?

Answer 1

Empiezas las partes desde el exponencial, es decir: $$\begin{aligned} \int x e^{-2x}\,dx &=-\frac{1}{2} xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int (x)' e^{-2x}\,dx \\ &=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx \\ &= -\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+c, \;\; c \in \mathbb{R}\\ \end{aligned}$$

hecho.

Answer 2

$$\left(-\frac{xe^{-2x}}{2} - e^{-2x} + c\right)'=-\frac{e^{-2x}}2+xe^{-2x}+2e^{-2x}.$$

Te has equivocado visiblemente con un factor...