Interés compuesto con pagos periódicos crecientes exponencialmente

Question

Dada la fórmula $$v_a = p\left(\frac{\left(1+\frac{r}{n}\right) ^{nt}-1}{\frac{r}{n}}\right)$$

para el valor $v_a$ de una cuenta que crece a una tasa periódica $r$ con un depósito regular $p$ compuesto $n$ veces por período después de $t$ períodos, y la fórmula del valor futuro $$v_p = p\left(1+\frac{r}{n}\right) ^{nt}$$

donde $p$ es el valor original, $r$ es la tasa periódica, $n$ es el número de veces que se compone el valor por período, y $t$ es el número de períodos, ¿cómo se explica un valor creciente para $p$ en $v_a$ ?

Ejemplo:

Jane invierte el 10% de sus ingresos en un 401k cada año desde que empieza a trabajar a los 22 años hasta que se jubila a los 62. Recibe unos ingresos anuales de 40.000 dólares durante su primer año de trabajo. Cada año, Jane recibe un aumento de sueldo del 5%. Obtiene un tipo de interés medio anual del 7% en su cuenta de jubilación (que se compone mensualmente) a lo largo de su carrera. ¿Cuánto tiene en su cuenta cuando se jubila?

Estrategia que utiliza el valor medio de $p$ sobre la carrera en $v_a$ :

Recordemos el valor medio de una función $f(x)$ en el intervalo $a \le x \le b$ es $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx $ por lo que el valor medio del 10% de ahorro salarial anual de Jane a lo largo de su carrera es $$ \frac{1}{40}\int_{0}^{40}v_p(t)dt \\ \frac{1}{40} \int_{0}^{40} 4000*\left(1.05\right)^{t}dt = \frac{4000}{40}\int_{0}^{40}1.05^tdt\\ =100 \left(\left(\frac{1.05^{40}}{ln(1.05)}\right) - \left(\frac{1}{ln(1.05)}\right)\right)\\ = \$ 12,379.52 $$ leading to a final account value of $$ v_a = 12379,52\a la izquierda(\frac{a la izquierda(1+\frac{.07}{12}{a la derecha) ^{12*40}-1}{\frac{.07}{12}{a la derecha)\a la izquierda = \$32,493,930$$

Problemas con la estrategia:

Esta cifra parece demasiado alta porque supone que por cada año de su carrera, Jane ganó intereses compuestos sobre \$12,379.52 of savings. That means for 39 years, she's compounding interest on \$ 12,379.52 - \$4,000 = \$ 8.379,52 de exceso de principio.

Sin embargo, durante la segunda mitad de su carrera, ahorra más principio que la media de su carrera, que también se acumula mientras sigue trabajando. No puedo demostrarme a mí mismo que el interés compuesto adicional cada año antes de que el ahorro anual alcance el valor medio (durante la primera mitad de su carrera) compensa directamente el aumento del capital ahorrado cada año por encima del ahorro medio (durante la segunda mitad de su carrera).

Puedo plantear el problema como la suma de una serie finita, pero espero una solución analítica más elegante. ¿Es correcta la primera estrategia? Si no, ¿existe una solución analítica precisa?

Answer 1

Con la capitalización anual:

$\Sigma_t[S_1r(1+g)^{t-1}(1+i)^{T-t}]$

con otras frecuencias de composición:

$\Sigma_t[\Sigma_x[\frac{S_1r(1+g)^{t-1}}{m}(1+\frac{i}{m})^{(m-x)}](1+\frac{i}{m})^{[m(T-t)]}]$

pero probablemente es a lo que te referías como suma de series finitas... sin embargo, es una expresión bastante corta, creo, ¿realmente necesitas una integral aquí? Perdón por preguntar ingenuamente..

Derivación de lo anterior:

Primero simplificado, con pagos anuales.

Cronograma:

$t = 0$ Lisa empieza a trabajar

$t = 1$ Lisa recibe su primer sueldo anual y hace el primer ingreso en su cuenta de ahorros.

$t= T = 40$ Lisa se retira. Así que ella hace el último pago en $t=40$ (todavía un pago en la cuenta del último salario en la fecha de la jubilación)

Trabaja 40 años, realiza 40 pagos y se jubila 39 años después del primer pago.

El pago anual $P(t)$ es su tasa de ahorro $r=10%$ veces su salario $S_t$ que es de 40 K al final del primer año, es decir $S_1=40,000$ y luego crece con $g=$ 5% por año, es decir:

$P_t = S_1r(1+g)^{t-1}$

Los pagos en su cuenta de ahorro crecen a un tipo de interés anual de $i=7$ %, por lo que el valor en la fecha de jubilación ( $T$ ) de un pago realizado en $t$ es:

$FV_{S_t}=S_tr(1+i)^{(T-t)}=S_1r(1+g)^{t-1}(1+i)^{T-t}$

El valor total de la cuenta es la suma sobre $t$ hasta $t=40$ :

$\Sigma_tFV_{P_t}=$

$\Sigma_t[S_tr(1+i)^{(T-t)}]=$

$\Sigma_t[S_1r(1+g)^{t-1}(1+i)^{T-t}]=$

$\Sigma_t4,000(1.05)^{t-1}(1.07)^{40-t}$

con otra frecuencia compuesta:

número de (sub)períodos compuestos por año:

índice para el subperíodo actual (aquí meses): $x$ $(1,2,...,12)$

$\Sigma_t[\Sigma_x[\frac{S_1r(1+g)^{t-1}}{m}(1+\frac{i}{m})^{(m-x)}](1+\frac{i}{m})^{[m(T-t)]}]$