Calcula la suma de vectores extraídos de la normal multivariante, sujeta a una restricción lineal

Question

Quiero calcular $S = \sum_{i=1}^n x_i$ donde $w^t x_i>-1, \; \forall i$ y $x_i \tilde{} \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ para los conocidos $w$ , $\mu$ y $\Sigma$ .

Lo sé. $S$ puede aproximarse mediante técnicas de muestreo, pero me preguntaba si S puede calcularse analíticamente.

Answer 1

Sí. La restricción consiste en truncar la distribución en una dirección (dada por $\vec{w}$ ). Después de cambiar las coordenadas, $S$ puede expresarse como la suma de una constante, una distribución normal truncada y una distribución normal (de la suma de las otras direcciones). Sin pérdida de generalidad, reescalamos $S$ para que la distribución truncada sea estándar, truncada por la izquierda en un valor $w$ y la otra distribución normal tiene $\sigma$ para su desviación estándar, y recórrela. La FDP de esta suma ajustada puede calcularse como la convolución de la FDP normal truncada y una FDP normal estándar, dando como resultado

$$f_S(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1+\sigma^2)}\left(1-\Phi(w)\right)}e^{-\frac{x^2}{2+2 \sigma ^2}} \left(1-\Phi \left(\frac{ w-x+w \sigma ^2}{\sigma\sqrt{1 + \sigma^2}}\right)\right)$$

donde $\Phi$ es la CDF normalizada. Aquí tenemos un gráfico de la distribución Normal truncada (rojo) y $f_S$ (azul) para $w=-1$ y $\sigma=1/2$ :

La distribución roja ha sido extendida o "apaciguada" por su convolución con una distribución Normal de desviación estándar $1/2$ .