Esta pregunta está motivada por Propiedad del punto fijo del plano de Cayley y la curiosidad ociosa.
En el enlace, se demuestra que todo mapa continuo del plano de Cayley a sí mismo tiene un punto fijo y el argumento (con fácil modificación) se aplica igualmente a $\mathbb{R}P^{2n}$ , $\mathbb{C}P^{2n}$ y $\mathbb{H}P^{2n}$ .
El deja abierto el caso de $\mathbb{R}P^{2n+1}$ , $\mathbb{C}P^{2n+1}$ y $\mathbb{H}P^{2n+1}$ .
En el caso $\mathbb{R}P^{2n+1}$ Este espacio cubre muchos de los espacios de la lente, por lo que en particular (a través del grupo Deck), admite muchos auto mapas libres de punto fijo (difeomorfismos, de hecho).
En el caso $\mathbb{C}P^{2n+1}$ el teorema de Lefschetz muestra que cualquier mapa continuo sin puntos fijos debe actuar como $-1$ en $H^2$ y, de hecho, existe un mapa de este tipo $(\mathbb{C}P^{2n+1}$ cubre doblemente un colector no orientable). Así que, de nuevo, hay un difeomorfismo sin puntos fijos.
Esto deja abierto el caso de $\mathbb{H}P^{2n+1}$ . El mismo argumento que en el caso anterior demuestra que $f$ debe actuar como $-1$ en $H^4$ . Esto puede lograrse ciertamente cuando $n=0$ . En este caso, $\mathbb{H}P^1 = S^4$ y el mapa antipodal es un difeomorfismo que actúa sin puntos fijos.
Sin embargo, para $n > 0$ no existe tal difeomorfismo. Esto viene del hecho de que la primera clase de Pontrjagin es un invariante del difeomorfismo y es un múltiplo no nulo del generador de $H^4(\mathbb{H}P^{2n+1})$ . Esto implica que cualquier difeomorfismo debe actuar como $+1$ en $H^4$ . Creo que el resultado de Novikov sobre la invariancia racional de las clases de Pontrjagin bajo homeomorfismos nos da el mismo resultado para los homeomorfismos.
Así, si existe un mapa $f:\mathbb{H}P^{2n+1}\rightarrow \mathbb{H}P^{2n+1}$ sin puntos fijos, no puede ser un homeomorfismo. De ahí mi pregunta:
¿Existe una función continua $f:\mathbb{H}P^{2n+1}\rightarrow \mathbb{H}P^{2n+1}$ sin puntos fijos cuando $n > 0$ ? ¿Hay algún ejemplo en el que $f$ es una equivalencia de homotopía?
