Cómo es Riemann–Stieltjes integral de un caso especial de Lebesgue–Stieltjes integral?

Question

Gracias por leer! Mis preguntas se basan en las siguientes citas de la Wikipedia:

1. Acerca de la existencia de Lebesgue–Stieltjes integral:

   El Lebesgue–Stieltjes integral de la $\int_a^b f(x)\,dg(x)$ está definido cuando ƒ : [a,b] → R es Borel medible y delimitada y g : [a,b] → R es de delimitada la variación en [a,b] y derecho-continuo, o cuando ƒ es no negativo y g es monótona y derecho-continuo.

   Me preguntaba si este es el correcto condición para su existencia?

2. Acerca de la existencia de Riemann–Stieltjes integral:

   El mejor sencillo teorema de existencia afirma que si f es continua y g es de variación acotada en [a, b], entonces la integral existe. Una función g es de variación acotada si y sólo si es la diferencia entre los dos la monotonía de las funciones. Si g no es de delimitada variación, entonces habrá funciones continuas que no pueden ser integrado con respecto a g. En en general, la integral no es bien definido si f y g compartir cualquier puntos de discontinuidad, pero este condición suficiente, no es necesario.

   Por otro lado, un clásico resultado de Jóvenes (1936), se establece que la integral está bien definido si f es α-Hölder continua y g es β-Hölder continua con α + β > 1.

   Para la pregunta en la parte 3, me preguntaba por Riemann–Stieltjes integral de la $\int_a^b f(x) \, dg(x)$ de existir, g debe ser no decreciente? Parece que no es el caso citado por encima de.

3. La especialización de Lebesgue–Stieltjes de la integral de Riemann–Stieltjes integral:

   Donde f es continua, con un valor real función de una variable real y g es una no la disminución de la función real, la Lebesgue–Stieltjes integral es equivalente a la de Riemann–Stieltjes integral,

   Me preguntaba por qué sólo se menciona el caso cuando g es no decreciente? Es esta la condición necesaria para la existencia de Riemann-Stieltjes integral?

4. Hacer Lebesgue–Stieltjes integral y Riemann–Stieltjes integral en general utilizar la misma notación $\int_a^b f(x)\,dg(x)$? ¿Cómo hace uno sabe que la notación se refiere a?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

No creo que mi entendimiento es completamente correcto y debería haber publicado un comentario, pero tiene restricciones de duración.

1. A mí me parece que cuando se $g$ es BV y a la derecha continua, y $f$ es Borel medible, $f$ no tiene que ser acotada. Hay ilimitada de Lebesgue integrable funciones, por lo que el mismo debe ser cierto para Lebesgue-Stieltjes integral, que se acaba de Lebesgue la integral w.r.t. la firma de medida $\mu_g$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ inducida por $g$.

2. Debe ser aceptable para la función$g$, con una variación acotada. Podemos escribir $g$ como la diferencia de dos no decreciente de funciones.

3. No creo que Riemann-Stieltjes integral requiere el integrador ser no decreciente. Podría ser BV o posiblemente incluso una clase más amplia de funciones. Supongo que el autor de la entrada de la Wikipedia se menciona sólo no decreciente funciones debido a que s/él tiene CDF de una variable aleatoria en mente y quiere discutir su aplicación en la teoría de la probabilidad. También tengo la impresión de que estas dos integrales de acuerdo siempre la de Riemann-Stieltjes de la integral existe. (Al igual que la relación entre la integral de Lebesgue y la integral de Riemann.)

4. Si estas dos nociones están de acuerdo, no hay peligro de que el uso de la misma notación. De lo contrario, he visto a los autores el uso de prefijo para distinguir los diferentes tipos de integrales, por ejemplo, $(R)\int_a^b...$ de Riemann(-Stieltjes) las integrales.