Algoritmo para explorar las funciones candidatas de Lyapunov

Question

Supongamos que intentas establecer la estabilidad de un punto de equilibrio en un sistema no lineal, pero tienes problemas para dar con una función de Lyapunov adecuada. (O bien, eres perezoso y no quieres hacer el trabajo tú mismo).

¿Existen funciones/algoritmos (por ejemplo, en Mathematica, Sage o Python) para encontrar funciones de Lyapunov para cualquier sistema no lineal dado? Parece que no puedo encontrar ninguna con una búsqueda rápida en Google, pero parece que sería relativamente simple implementar algo que es muy probable (tal vez no 100% garantizado) para encontrar una función de Lyapunov si existe. Especialmente si el número de variables en el sistema es relativamente pequeño.

Estoy pensando en algo parecido a:

• Iterar sobre una lista de funciones definidas positivas $V(x)$ (por ejemplo, formas cuadráticas y otros polinomios).
• Para cada función candidata, determine si $\dot{V}$ es semidefinido negativo o definido negativo.
• Deténgase cuando encuentre una negativa definitiva $\dot{V}$ o abandonar después de un número de iteraciones definido por el usuario

¿Funcionaría esto, o es un problema más complicado de lo que parece?

Answer 1

Para los sistemas no lineales, la función de Lyapunov polinómica de suma de cuadrados puede construirse algorítmicamente. Véase Sobre la construcción de funciones de Lyapunov utilizando la descomposición de la suma de cuadrados . Básicamente, la restricción de aproximación sos la optimización polinómica de encontrar una función de Lyapunov para ser un programa semidefinido, que generalmente se considera resoluble (para casos de baja dimensión). Para la implementación en Matlab, véase SOSTOOLS que es un analizador para construir problemas de optimización polinómica. Hay trabajos recientes en los que se utiliza la llamada relajación DSOS y SDSOS que restringe el problema aún más a la programación lineal más solucionable o a la programación cónica de segundo orden. Sin embargo, todo lo anterior no puede garantizar encontrar una función de Lyapunov, porque, en primer lugar, para un sistema ode global asintóticamente estable con campos vectoriales polinómicos, no tiene necesariamente una función de Lyapunov polinómica; en segundo lugar, para un sistema de este tipo que tiene una función de Lyapunov polinómica, no tiene necesariamente una función de Lyapunov que se pueda encontrar mediante programación SOS, véase el trabajo de Pable Parrilo.