valor mínimo de $f(x,y) = 2x^2+y^2+2xy+2x-3y+8\;,$ Donde $x,y\in \mathbb{R}$

Question

El menor valor de $f(x,y) = 2x^2+y^2+2xy+2x-3y+8\;,$ Donde $x,y\in \mathbb{R}$

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $$K = 2x^2+y^2+2xy+2x-3y+8$$

Así que $$\displaystyle y^2+(2x-3)y+2x^2+2x+8-K=0$$

Ahora bien, para los valores reales de $y\;,$ Tenemos $\bf{Discriminant\geq 0}$

Así que $$(2x-3)^2-4(2x^2+2x+8-K)\geq 0$$

Así que $$-4x^2-20x-23+4K\geq0\Rightarrow 4x^2+20x+23-4K\leq0$$

Ahora cómo puedo resolver después de eso, ayúdame

Gracias

Answer 1

Usted tiene $$4x^2+20x+23-4K\le 0.$$ Así que, $$\begin{align}K&\ge x^2+5x+\frac{23}{4}\\&=\left(x+\frac 52\right)^2-\frac 12\\&\ge -\frac 12\end{align}$$ La igualdad se alcanza cuando $x=-\frac 52,y=4$ .

Answer 2

Ya que tiene la etiqueta de cálculo voy a intentar resolverlo con cálculo

Aquí está mi intento:

vamos a encontrar algún punto extremo y luego comprobar si su mínimo o máximo

dejar $Z = 2x^2 +y^2 +2xy + 2x -3y +8 $

así que tenemos $\frac{dz}{dx} = 4x + 2y +2 $ y $\frac{dz}{dx} = 2y +2x -3 $

ahora vamos a encontrar un posible punto extremo de la ecuación anterior

$ 4x + 2y + 2 = 0 $ cambiar esto por $ 4x+2y = -2$

$2x + 2y - 3 = 0 $ cambiar esto por $ 2x + 2y = 3$

eliminando 2 de la ecuación anterior tenemos x = $\frac{-5}{2}$ y y = $4$

y ahora vamos a comprobar si este punto es mínimo o máximo .

utilizando la segunda derivación $\frac{d^2z}{dx^2} = 4 $

ahora por subtituto $(x,y) = (\frac{-5}{2} ,4 )$ a la $\frac{d^2z}{dx^2} = 4 $

tenemos $\frac{d^2z}{dx^2} > 0 $ ya que $\frac{d^2z}{dx^2} > 0 $ esta media (x,y)

es un mínimo extremo . esto significa que al subtitular $(x,y) = (\frac{-5}{2} ,4 )$ nosotros vamos a obtener un resultado mínimo

Answer 3

\begin{align} &2x^2+y^2+2xy+2x-3y+8\\ &=\left(x^2+y^2+\frac94+2xy-3x-3y\right)+x^2+5x+\frac{23}{4}\\ &=(x+y-3/2)^2+x^2+5x+\frac{23}4\\ &=(x+y-3/2)^2+\left(x+\frac52\right)^2-\frac12\\ &\geq-\frac12\\ &(x=-\frac52,\space y=4) \end{align}