Actualización :
Creo que su modelo de crecimiento ya se ha estudiado antes y recibe el nombre de Modelo de crecimiento de Eden (Véase la sección 4 del documento original (enlazado) de Murray Eden). Parece que lo que se suele estudiar es un modelo de "adición de sitios", mientras que tu modelo es un modelo de "adición de enlaces", pero apuesto a que los resultados principales serán los mismos. Todavía no he conseguido encontrar ninguna revisión reciente centrada sólo en el modelo de Eden (y el Página de Wikipedia es tristemente muy escaso), pero he encontrado una descripción del mismo en las primeras páginas de este capítulo del libro de Jean-François Gouyet "Física y estructuras fractales" .
La interfaz del modelo Edén fue la motivación de Kardar, Parisi y Zhang cuando definieron la clase de universalidad ahora conocida como KPZ. Aquí está una buena revisión de la clase de universalidad KPZ por Ivan Corwin.
Por lo tanto, se sabe mucho (conjeturalmente) sobre esto -- en particular, el tamaño de las fluctuaciones en el perímetro de un solo árbol con $N$ bonos debe escalar como $N^{1/6}$ (las fluctuaciones van como el radio $^{1/3}$ y estoy bastante seguro de que el radio va como $N^{1/2}$ ). Debido a esta discrepancia entre el sitio y la adición de enlaces, no he encontrado nada sobre la colisión de los cúmulos de Eden, pero creo que estas ideas pueden justificar que se obtengan células de Voronoi. ¡Estaría encantado de escuchar las críticas o los detalles de un experto!
Todavía no tengo nada riguroso que decir, pero alguna intuición post-facto para Q2 es la siguiente.
Consideremos el caso de una sola semilla. Contaré una historia sobre por qué el crecimiento de una sola semilla debería parecerse más o menos a un disco con un borde ondulado, en lugar de algo con muchos dedos ramificados y extendidos (como algo que se obtiene de la agregación con difusión limitada, por ejemplo). Si te crees mi historia, entonces debería estar más claro por qué no hay tanto "enredo" en las interfaces entre dos cuerpos en crecimiento.
En un paso de tiempo determinado $i$ tenemos un árbol $T_i$ ; que el conjunto de aristas que conectan $T_i$ à $\mathbb{Z}^2\setminus T_i$ sea $G_i$ . Entonces podemos formar $T_{i+1}$ eligiendo uniformemente una arista en $G_i$ y añadirlo a $T_i$ . Hasta ahora, esto es sólo su proceso en términos diferentes. Aquí viene un poco de manipulación. Cualquier "protuberancia" en $T_i$ no se alargará demasiado, porque para hacer crecer un subconjunto de $T_i$ que sobresale una distancia significativa del resto de $T_i$ Tendríamos que haber elegido los bordes cerca de la "punta" de esta protuberancia repetidamente. Pero, por supuesto, la punta de una protuberancia larga tiene un perímetro pequeño en comparación con los lados de la protuberancia y, por tanto, es mucho más probable que los bordes añadidos suavicen cualquier característica de este tipo en lugar de ampliarla.
¿Por qué esto termina con algo parecido a un disco? Tu proceso es básicamente uno en el que añades una "protuberancia" al árbol centrada en algún lugar uniformemente aleatorio de la "frontera". Por lo tanto, considere la siguiente versión "fuera de la red" de su proceso. Dejemos que $T_0$ sea un disco de radio 1 centrado en el origen. $T_i$ es la unión de $T_{i-1}$ con un disco centrado en un punto $p_i$ elegidos uniformemente en la frontera de $T_{i-1}$ . Espero que puedas ver que esto es una versión estocástica de evolución normal de la frontera. Y como es conocido por los garabatos La evolución normal tiende a los discos circulares, por lo que "intuitivamente" una versión estocástica tenderá a un disco ondulado. (Una complicación aquí es que a tu proceso no se le permite formar bucles en el árbol, mientras que la versión continua que tengo en mente sí lo hace).
