Topología de convergencia uniforme en $C(X,Y)$ es independiente de la métrica para los compactos $X$

Question

Solicito que se verifique lo siguiente (que creo que es cierto):

Dejemos que $X$ sea un conjunto con topología fija y $(Y,d)$ un espacio métrico. $C(X,Y)$ denota el espacio de todas las funciones continuas $f: X \to Y$ ; la dotamos de la topología de convergencia uniforme (t-uc). Ahora, en general, si cambiamos a una métrica topológicamente equivalente $d'$ en $Y$ el t-uc on $C(X,Y)$ con respecto a esta métrica puede ser diferente de la t-uc con respecto a la $d$ . Para ello, se pueden encontrar varios ejemplos en este sitio.

Mi pregunta: Si se sabe que $X$ es compacto (por ejemplo, un intervalo cerrado y acotado en $\mathbb{R}$ ), entonces esto no ocurre, es decir, en este caso la topología de convergencia uniforme en $C(X,Y)$ es invariable al cambiar a diferentes métricas topológicamente equivalentes en $Y$ ¿verdad?

Supongo que un argumento podría ser el siguiente: Para los compactos $X$ la topología de convergencia uniforme en $C(X,Y)$ coincide con la topología compacta-abierta en $C(X,Y)$ que, a su vez, depende claramente de la topología de $X$ y $Y$ sólo (y no en una métrica específica que induzca la topología en $Y$ ).

En particular, cuando $X$ es compacto y quiero demostrar la cerrazón de algún conjunto $A \subset C(X,Y)$ (este último dotado de t-uc), entonces al hacerlo puedo (si esto resulta útil) elegir libremente cualquier métrica sobre $Y$ que genera la topología fija prescrita en $Y$ .

¿Estoy en lo cierto o hay algún problema en lo anterior? Gracias de antemano por cualquier comentario o respuesta al respecto.

Answer 1

La topología de convergencia uniforme es la topología inducida por la $\sup$ -métrico. Esto sólo se define en el conjunto $C_{bd}(X,(Y,d))$ de funciones continuas acotadas con respecto a $d$ . Sin embargo, si $d$ es una métrica acotada o si $X$ es compacto, entonces $C_{bd}(X,(Y,d)) = C(X,Y)$ .

Su argumento es correcto: si $X$ es compacta, entonces es bien sabido que la topología de convergencia uniforme inducida por cualquier métrica $d$ está de acuerdo con la topología compacta-abierta.

En general, para cualquier $X$ la topología compacto-abierta coincide con la topología de convergencia uniforme en todos los compactos $C \subset X$ para cualquier métrica $d$ en $Y$ .