Demuestre que un mapa continuo homogéneo positivo es Lipschitz

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son espacios de Banach. Definir un mapa $f:X \rightarrow Y$ que es continua uniforme y satisface $$f(\lambda x) = \lambda f(x)$$ para $x \in X$ y $0<\lambda \in \mathbb{R}$ .

Demuestra que $f$ es continua de Lipschitz.

Mi intento:

Queremos demostrar que $\| f(x) - f(y) \|_Y \leq M \| x-y \|_X$ para alguna constante $M>0$ .

Tenga en cuenta que $\| f(\lambda y) - f(\lambda x) \|_Y = \lambda \| f(x)-f(y) \|_Y$ . ¿Cómo continuar a partir de aquí? En particular, ¿dónde debo aplicar la continuidad uniforme?

Si $X$ es compacto, entonces puedo usar $\delta$ de la continuidad uniforme repetidamente para obtener algo. Pero yo $X$ puede no ser compacto.

Answer 1

Supongamos que siempre que $\|x-y\| \leq \delta$ entonces $\|f(x) - f(y)\| \leq \epsilon$ .

Fijar dos puntos $X$ y $Y$ en $X$ . Entonces, para alguna elección de $\lambda$ , $\lambda X$ y $\lambda Y$ es tal que $\|\lambda X - \lambda Y\| \leq \delta$ . $\lambda = \frac{\delta}{\|X-Y\|}$ es suficiente.

Pero ahora, $\|f(X) - f(Y)\| = \frac{1}{\lambda} \|f(\lambda X) - f(\lambda Y)\| \leq \frac{\epsilon}{\lambda} = \frac{\epsilon}{\delta} \|X-Y\|$ .