Distancia y norma en un subespacio lineal

Question

Supongamos que $(X, \|\circ\|_X)$ es un espacio normado y $Y$ es un subespacio lineal de $X$ que también es un espacio normado con respecto a otra norma $\|\circ\|_Y$ . ¿Es posible que $\|x-y\|_Y < \infty$ para algunos $x \in X\backslash Y$ y $y \in Y$ ? ¿Tiene esto sentido? Soy nuevo en esto y estoy confundido. Gracias.

Answer 1

Tiene sentido siempre y cuando $x-y$ es un elemento de $Y$ porque la norma $\| \circ \|_Y$ se define sólo en los elementos de $Y$ . Sin embargo, si ese es el caso, entonces $x-y+y=x$ es un elemento de $Y$ lo cual es una contradicción (porque usted eligió su $x$ para estar "fuera" de $Y$ ).