Pregunta simple - Problemas con los vectores propios - Wolfram Alpha no ayudó

Question

Estoy tratando de enseñarme la descomposición del valor singular, y parte de eso es encontrar valores propios y vectores propios.

Tengo una matriz $$A=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\\ -1 & 1\end{bmatrix}$$ Así que $$t(A)A =\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 3\end{bmatrix}$$

Así que mis valores propios son $$ \lambda_1 = 3,\qquad \lambda_2 = 2 $$

Así que ahora necesito mis vectores propios.

Para calcular la primera, sustituyo $\lambda_1$ en $$\begin{bmatrix} \lambda-2 & 0\\ 0 & \lambda-3 \end{bmatrix}$$ que se convierte en $$ \begin{bmatrix} 3-2 & 0\\ 0 & 3-3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix} $$ Así que cuando resuelvo el vector propio multiplicando esto por $[x_1; x_2]$ y ponerlo en $0$ Me sale \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = 0 \end{cases} Pero no puedo tener un $[0 ; 0]$ eigenvector si entiendo bien, así que debo estar haciendo algo mal?

El resultado se supone que es un vector propio $[0 ; 1]$ pero no veo cómo.

Answer 1

Cuando se multiplica $\pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr} \pmatrix{x_1 \cr x_2\cr}$ debes conseguir $\pmatrix{x_1 \cr 0\cr}$ . Así que $x_1 = 0$ pero no hay ninguna restricción sobre $x_2$ . Así, $\pmatrix{0\cr x_2\cr}$ es un vector propio, para cualquier $x_2 \ne 0$ .