¿Identidad del número Stirling a través de la homología?

Question

Esta es una pregunta sobre la conocida fórmula que involucra ambos tipos de números de Stirling: $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}S(n,k)c(k,m)=0$ , donde $S(n,k)$ es el número de particiones de un $n$ -elemento puesto en $k$ bloques, y $c(k,m)$ es el número de permutaciones de a $k$ -conjunto de elementos que tienen $m$ ciclos. Supongo que $n \neq m$ . La pregunta es si existe una prueba conocida de la fórmula de la siguiente naturaleza: (1) existe un complejo de espacios vectoriales con rangos $S(n,k)\cdot c(k,m)$ , (2) el complejo es exacto. Me interesaría una respuesta general o, si simplifica la situación, sólo una respuesta que se aplique en caso $m=1$ .

El contexto es este: Estoy intentando elaborar, en geometría algebraica, un método eficaz para calcular los grados de Severi para curvas planas de género y número de nodos especificados. El método depende de la construcción de un argumento homológico análogo para el que el argumento del número de Stirling (si existe) proporcionaría un prototipo.

Answer 1

Dejemos que $X = S^1 \sqcup S^1 \sqcup S^1 \sqcup \cdots \sqcup S^1$ donde hay $m$ círculos disjuntos. Sea $Y \subset X^n$ sea el conjunto de $n$ puntos ordenados en $X$ de manera que haya al menos un punto en cada componente. Obsérvese que cada componente conectada de $Y$ es isomorfo a $(S^1)^n$ . Que el grupo $G = (S^1)^m$ actuar $X$ donde el $k$ -enésimo factor de $G$ gira el $k$ -a componente de $X$ . Así que $G$ actúa sobre $Y$ . Además, deja que $S_m$ actúan permutando los factores. Sea $Z = S_m\backslash Y/G$ . Cada componente de $Y/G$ es isomorfo a $(S^1)^{n-m}$ . El $S_m$ permuta los componentes, por lo que el cociente es la unión de un número menor de copias de $(S^1)^{n-m}$ . Así que vemos que $\chi(Z)=0$ para $n-m>0$ .

Ahora presento una regular Estructura de CW en $Z$ para que el número de $k-m$ células es $S(n,k) c(k,m)$ , demostrando su identidad. Una célula determinada de $Z$ corresponderá a aquellas disposiciones de puntos en $X$ que se encuentran en un orden cíclico determinado. Así, para especificar una celda de $Z$ , tenemos que decir (1) qué puntos son iguales entre sí y (2) cómo ordenar esos montones de puntos en torno a círculos. El número de formas de agrupar $n$ puntos en $k$ clases de igualdad es $S(n,k)$ y el número de formas de organizarlas $k$ clases en torno a $m$ círculos es $c(k,m)$ . Ahora tenemos que ver que esto es una triangulación.

Por lo tanto, fijar una partición de $[n]$ en $k$ bloques, y una disposición de esos bloques alrededor de $m$ círculos. Sea $U^{\circ}$ sea el conjunto de puntos en $Z$ con esa configuración, y que $U$ sea el cierre de $U$ . Tenemos que ver que $U^{\circ}$ es el interior de una bola y existe un mapa continuo desde la bola cerrada hasta $Z$ ampliando la inclusión de $U^{\circ}$ .

Elija las coordenadas en $U^{\circ}$ para ser los ángulos entre los bloques. Sea el número de bloques en el $i$ -el círculo de be $c_i$ Así que escribiremos $\theta_1^i$ , $\theta_2^i$ , ..., $\theta_{c_i}^i$ para las coordenadas procedentes del $i$ -Círculo de la muerte. Así que $\sum_{i=1}^m c_i = k$ y $\sum_{r=1}^{c_i} \theta_r^i = 2 \pi$ para cada $i$ .

Entonces $$U^{\circ} = \prod_{i=1}^m {\Large \{} (\theta_1^i, \theta_2^i, \ldots, \theta_{c_i}^i) : \sum_r \theta_r^i = 2 \pi, \ \theta_r^i >0 {\Large \}}$$ . Claramente, $U^{\circ}$ es el interior de la bola $$U := \prod_{i=1}^m {\Large \{} (\theta_1^i, \theta_2^i, \ldots, \theta_{c_i}^i) : \sum_r \theta_r^i = 2 \pi, \ \theta_r^i \geq 0 {\Large \}}$$

También es fácil construir un mapa $U \to Z$ ampliando la inclusión de $U^{\circ}$ . No es exactamente una inyección: Siempre que haya una $i$ de manera que cada $\theta^i_r$ es $0$ o $2 \pi$ Los diferentes puntos que se forman al mover la posición del $2 \pi$ se identificará.

Answer 2

Esto debería ser un comentario, principalmente porque no he comprobado...

Arreglar $n$ y considerar sólo $m=1$ . Para un número natural $\ell$ dejar $[\ell]=\lbrace 1,\dots,\ell\rbrace$ .

Dejemos que $X_k(n)$ para cada $k\geq0$ sea el espacio vectorial cuya base es el conjunto de todas las funciones suryentes $[n]\to[k+1]$ . Entonces $X_\flat(n)$ es un espacio vectorial simplicial (con operaciones simpliciales que actúan sobre $[k+1]$ ). Podemos hacerlo mejor: para cada $k\geq0$ hay un endomorfismo $t_k:X_k(n)\to X_k(n)$ tal que $t_k^{k+1}=\mathrm{id}$ dado simplemente por la rotación en $[k+1]$ . El mapa $t_k$ juega muy bien con la estructura simplicial y Creo que de esta manera $X_\flat(n)$ se convierte en espacio vectorial cíclico (un objeto cíclico en la categoría de espacios vectoriales) en el sentido de Alain Connes; véase el libro de Jean-Louis Loday sobre la homología cíclica.

Ahora bien, si el campo subyacente es de característica cero, el complejo de Connes $C^\lambda$ correspondiente al espacio vectorial cíclico $X_\flat(n)$ tiene $C^\lambda_k=X_k(n)/(1-t_k)$ En otras palabras, identificamos las cosas con su imagen bajo $t_k$ . Los elementos de este espacio vectorial son funciones $[n]\to[k+1]$ hasta una rotación en $[k+1]$ que es lo mismo que una partición de $[n]$ en $k+1$ partes etiquetadas, hasta una rotación cíclica del etiquetado. Hay $S(n,k+1)(k+1)!$ particiones etiquetadas de $[n]$ en $k+1$ partes, y cuando las miramos hasta la rotación en $[k+1]$ obtenemos $S(n,k+1) k!$ . Ahora $c(k+1,1)=k!$ Así que al final $$\dim C^\lambda_k=S(n,k+1)c(k+1,1).$$

Se deduce que casi estás intentando calcular la característica de Euler del complejo $C^\lambda$ .

No tengo papel a mano (y este margen &c) así que no puedo intentarlo ahora: pero uno sabe que la homología de $C^\lambda$ puede obtenerse de un complejo diferente, el de Connes bicomplejo cíclico o su complejo triangular . Tal vez la homología de esos complejos pueda calcularse fácilmente, y eso haría más o menos lo que quieres.

Answer 3

Esto también debería ser un comentario. La mayoría de los combinadores (por ejemplo, Enumerative Combinatorics, v.1, de R.P. Stanley, página 18) definen los números Stirling del primer tipo como $s(k,m) := (-1)^{(k-m)}c(k,m)$ . Con esa definición, se tiene la identidad $\sum_{k \geq 0} S(n,k)s(k,m) = \delta_{n,m}$ (ibid., p. 35). La suma que da no siempre da 0. Cuando $n=2$ y $m=1$ por ejemplo, es igual a 2.