La pregunta del Principio de Duhamel

Question

Necesito demostrar la siguiente forma del principio de Duhamel, pero no sé cómo... ¿Pueden ayudarme, por favor?

Sea u(x,t) la solución del siguiente problema de valor inicial-límite para la ecuación de onda no homogénea: (*) $\left\{\begin{matrix} u_{tt}-u_{xx}= f(x,t)\\ u(x,0)=0\\ u_{t}(x,0)=0 \end{matrix}\right.$

Dejemos que $w(x,t;\tau)$ sea la solución a:

$\left\{\begin{matrix} w_{tt}-w_{xx}= 0\\ w(x,t=0)=0\\ w_{t}(x,t=0)=f(x,\tau) \end{matrix}\right.$

Demuestra eso entonces:

$u(x,t)=\int_{0}^{t}w(x,t-\tau;\tau)d\tau$ es la solución de (*).

¡Muchas gracias!

Answer 1

Puede encontrar pruebas detalladas en http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation#Inhomogeneous_wave_equation_in_one_dimension .