Dejemos que R sea un anillo finito (con unidad) de orden p2 , donde p es un primo. Sé que hay exactamente 11 anillos de este orden. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden p2 ? Si la respuesta es afirmativa, por favor recomiende una referencia. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Sólo 4 de los 11 anillos de orden p2 tienen una unidad.
Z/(p2)
Fp2
Fp×Fp
Fp[X]/(X2)
Consulte las respuestas a la siguiente pregunta para obtener una explicación: Clasificación de anillos conmutativos unitales de orden p2
Para el caso 1: el grupo de unidades es Cp2−p
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Cyclic_case
Para el caso 2: el grupo de unidades es Cp2−1
Fuente: Los subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un campo son cíclicos
Para el caso 3: el grupo de unidades es Cp−1×Cp−1
Para el caso 4: un elemento a+bX+(X2) en este anillo es una unidad si a≠0 y el grupo es de nuevo cíclico Cp2−p .
Fuentes:
Unidades en el anillo de cociente de polinomios
Si {0} es maximal, entonces es un campo de p2 elementos y se sabe que las unidades son el grupo cíclico de orden p2−1 .
Si {0} no es maximal, entonces existe un ideal maximal de orden p Llámalo M . Si M es único, entonces R∖M es el conjunto de unidades, y como grupo de orden p2−p . Este caso se desglosa en el caso de que la característica sea p o la característica es p2 .
Si M no es único, entonces hay otro ideal maximal M′ tal que M∩M′={0} (argumentando por órdenes.). En este caso R≅Fp×Fp y el grupo de unidades es obviamente Cp−1×Cp−1 .