¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden $p^2$ ?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo finito (con unidad) de orden $p^2$ , donde $p$ es un primo. Sé que hay exactamente 11 anillos de este orden. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden $p^2$ ? Si la respuesta es afirmativa, por favor recomiende una referencia. Gracias.

Answer 1

Sólo 4 de los 11 anillos de orden $p^2$ tienen una unidad.

$$\mathbb{Z}/(p^2)$$

$$\mathbb{F}_{p^2}$$

$$\mathbb{F}_{p}\times \mathbb{F}_{p}$$

$$\mathbb{F}_{p}[X]/(X^2)$$

Consulte las respuestas a la siguiente pregunta para obtener una explicación: Clasificación de anillos conmutativos unitales de orden $p^2$

Para el caso 1: el grupo de unidades es $C_{p^2-p}$

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Cyclic_case

Para el caso 2: el grupo de unidades es $C_{p^2-1}$

Fuente: Los subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un campo son cíclicos

Para el caso 3: el grupo de unidades es $C_{p-1}\times C_{p-1}$

Fuente: El grupo de unidades de la suma directa de anillos es isomorfo a la suma directa de los grupos de unidades

Para el caso 4: un elemento $a+bX+(X^2)$ en este anillo es una unidad si $a\neq 0$ y el grupo es de nuevo cíclico $C_{p^2-p}$ .

Fuentes:

Unidades en el anillo de cociente de polinomios

¿Es el grupo de unidades de un anillo finito cíclico?

https://www.jstor.org/stable/2373134?seq=1

Answer 2

Si $\{0\}$ es maximal, entonces es un campo de $p^2$ elementos y se sabe que las unidades son el grupo cíclico de orden $p^2-1$ .

Si $\{0\}$ no es maximal, entonces existe un ideal maximal de orden $p$ Llámalo $M$ . Si $M$ es único, entonces $R\setminus M$ es el conjunto de unidades, y como grupo de orden $p^2-p$ . Este caso se desglosa en el caso de que la característica sea $p$ o la característica es $p^2$ .

Si $M$ no es único, entonces hay otro ideal maximal $M'$ tal que $M\cap M'=\{0\}$ (argumentando por órdenes.). En este caso $R\cong F_p\times F_p$ y el grupo de unidades es obviamente $C_{p-1}\times C_{p-1}$ .