Dejemos que $R$ sea un anillo finito (con unidad) de orden $p^2$ , donde $p$ es un primo. Sé que hay exactamente 11 anillos de este orden. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden $p^2$ ? Si la respuesta es afirmativa, por favor recomiende una referencia. Gracias.
Respuestas
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halrankard
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Sólo 4 de los 11 anillos de orden $p^2$ tienen una unidad.
$$ \mathbb{Z}/(p^2) $$
$$ \mathbb{F}_{p^2} $$
$$ \mathbb{F}_{p}\times \mathbb{F}_{p} $$
$$ \mathbb{F}_{p}[X]/(X^2) $$
Consulte las respuestas a la siguiente pregunta para obtener una explicación: Clasificación de anillos conmutativos unitales de orden $p^2$
Para el caso 1: el grupo de unidades es $C_{p^2-p}$
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Cyclic_case
Para el caso 2: el grupo de unidades es $C_{p^2-1}$
Fuente: Los subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un campo son cíclicos
Para el caso 3: el grupo de unidades es $C_{p-1}\times C_{p-1}$
Para el caso 4: un elemento $a+bX+(X^2)$ en este anillo es una unidad si $a\neq 0$ y el grupo es de nuevo cíclico $C_{p^2-p}$ .
Fuentes:
Unidades en el anillo de cociente de polinomios
rschwieb
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Si $\{0\}$ es maximal, entonces es un campo de $p^2$ elementos y se sabe que las unidades son el grupo cíclico de orden $p^2-1$ .
Si $\{0\}$ no es maximal, entonces existe un ideal maximal de orden $p$ Llámalo $M$ . Si $M$ es único, entonces $R\setminus M$ es el conjunto de unidades, y como grupo de orden $p^2-p$ . Este caso se desglosa en el caso de que la característica sea $p$ o la característica es $p^2$ .
Si $M$ no es único, entonces hay otro ideal maximal $M'$ tal que $M\cap M'=\{0\}$ (argumentando por órdenes.). En este caso $R\cong F_p\times F_p$ y el grupo de unidades es obviamente $C_{p-1}\times C_{p-1}$ .
