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¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden p2 ?

Dejemos que R sea un anillo finito (con unidad) de orden p2 , donde p es un primo. Sé que hay exactamente 11 anillos de este orden. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una clasificación del grupo de unidades en cada anillo de orden p2 ? Si la respuesta es afirmativa, por favor recomiende una referencia. Gracias.

6voto

halrankard Puntos 418

Sólo 4 de los 11 anillos de orden p2 tienen una unidad.

Z/(p2)

Fp2

Fp×Fp

Fp[X]/(X2)

Consulte las respuestas a la siguiente pregunta para obtener una explicación: Clasificación de anillos conmutativos unitales de orden p2

Para el caso 1: el grupo de unidades es Cp2p

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Cyclic_case

Para el caso 2: el grupo de unidades es Cp21

Fuente: Los subgrupos finitos del grupo multiplicativo de un campo son cíclicos

Para el caso 3: el grupo de unidades es Cp1×Cp1

Fuente: El grupo de unidades de la suma directa de anillos es isomorfo a la suma directa de los grupos de unidades

Para el caso 4: un elemento a+bX+(X2) en este anillo es una unidad si a0 y el grupo es de nuevo cíclico Cp2p .

Fuentes:

Unidades en el anillo de cociente de polinomios

¿Es el grupo de unidades de un anillo finito cíclico?

https://www.jstor.org/stable/2373134?seq=1

5voto

rschwieb Puntos 60669

Si {0} es maximal, entonces es un campo de p2 elementos y se sabe que las unidades son el grupo cíclico de orden p21 .

Si {0} no es maximal, entonces existe un ideal maximal de orden p Llámalo M . Si M es único, entonces RM es el conjunto de unidades, y como grupo de orden p2p . Este caso se desglosa en el caso de que la característica sea p o la característica es p2 .

Si M no es único, entonces hay otro ideal maximal M tal que MM={0} (argumentando por órdenes.). En este caso RFp×Fp y el grupo de unidades es obviamente Cp1×Cp1 .

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