Antecedentes
Un campo $\left( F,+,\cdot,0,1 \right)$ es una estructura algebraica compuesta por los dos grupos abelianos $\left( F,+,0 \right)$ y $\left( F \setminus \{ 0 \}, \cdot, 1 \right)$ . Las dos leyes distributivas, que deben mantenerse, son irrelevantes para lo que sigue. Más bien quiero advertir el hecho de que la multiplicación es un mapa $$ F \setminus \{ 0 \} \times F \setminus \{ 0 \} \longrightarrow F \setminus \{ 0 \}. $$
Pregunta
Obviamente, ninguno de los dos $(0,x)$ ni $(x,0)$ están en $F \setminus \{ 0 \} \times F \setminus \{ 0 \}$ y, por tanto, elementos del dominio de la multiplicación. Pero, ¿no implica esto que expresiones como $$ 0 \cdot x = x \cdot 0 = 0 $$ no se puede escribir, porque la multiplicación por $0$ ¿es acualmente inadmisible?
Actualización
Como aclaran los comentarios y las respuestas, la multiplicación de un campo determinado es, de hecho, un mapa $$ \cdot : F \times F \longrightarrow F, $$ y la multiplicación del grupo multiplicativo subyacente es la resticción de $\cdot$ a $F \setminus \{ 0 \} \times F \setminus \{ 0 \}$ y en realidad merecería otro símbolo.
Mi falso el razonamiento fue al revés: Dados dos grupos como los anteriores, se construye un campo simplemente heredando la suma y la multiplicación.
