Exponenciación de una matriz

Question

Me preguntaba si mi solución es correcta o no y, si no lo es, en qué me he equivocado.

Encuentre $ e^A $ donde $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

Así que lo que hice fue ver que

$$ e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n}}{n!}$$

y descubrí que cuando n es par, la matriz resultante es la matriz identidad y cuando n es impar resulta ser la propia A, así que ahora la transformé en

$$ e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}{2n!} +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}{(2n+1)!} $$ después de esto no sé muy bien qué hacer, aunque se parecen a las series de potencias de cos y sin.

Answer 1

$A$ es una orden $2$ matriz de permutación, por lo tanto:

$$ e^{A}=\sum_{n\geq 0}\frac{A^n}{n!} = A\sum_{n\geq 0}\frac{I}{(2n+1)!}+I\sum_{n\geq 0}\frac{I}{(2n)!} = \sinh(1) A + \cosh(1) I = \begin{pmatrix}\cosh(1)&\sinh(1)\\\sinh(1)&\cosh(1)\end{pmatrix}=\frac{1}{2e}\begin{pmatrix}e^2+1&e^2-1\\e^2-1&e^2+1\end{pmatrix}. $$

Answer 2

Sugerencia: En lugar de $\cos$ y $\sin$ , piense $\cosh$ y $\sinh$ . Estas funciones trigonométricas hiperbólicas tienen casi la misma expansión, excepto que cada término es positivo.