Pregunta sobre conjuntos (Anillos en la teoría de la probabilidad)

Question

Dejemos que $\Omega$ sea nuestro espacio muestral, definimos un anillo como $R\subset P(\Omega)$ verificando: $R\neq\emptyset$ , $R$ es cerrado bajo intersecciones finitas, y cerrado bajo diferencia simétrica.

Demostrar que $R$ es un anillo si $R$ es cerrado bajo intersecciones finitas, uniones finitas y $\emptyset\in R$

Mi intento:

$\Rightarrow$

Sólo tenemos que demostrar que $\emptyset\in R$ y $R$ es cerrado bajo uniones finitas.

Dejemos que $A\in R$ entonces $A\triangle A=\emptyset\in R$

Entonces $A\cup B = A\triangle (B\backslash A)\in R$

$\Leftarrow$

Estoy luchando con esta implicación

(Hágame saber si el título del post se ajusta a mi problema)

Answer 1

Esto, en general, no es cierto. Dejemos que $\Omega=\{1,2,3\}$ , $R=\{\emptyset,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ . Entonces puede ver que $R$ es cerrado bajo unión finita e intersección finita, y que $\emptyset\in R$ .

$R$ no es, sin embargo, cerrado bajo diferencia simétrica: $\{1,2\}\triangle\{2,3\}=\{1,3\}\notin R$ . Por lo tanto, la implicación inversa no es válida.

En su lugar, intente probar " $R$ es un anillo si y sólo si $R$ es cerrado bajo unión finita y tomando complementos relativos ( $A\backslash B$ ), y $R\neq\emptyset$ ".