Cómo encontrar el periodo de $\tan2x + \cos2x$ ?

Question

Necesito encontrar el periodo de la siguiente función trigonométrica: $$f(x) = \tan2x + \cos2x$$

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sé que esta pregunta es antigua, pero aun así, me ha gustado y creo que puedo responderla.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \text{tan}(2x)+\text{cos}(2x)=\frac{2}{\text{cos}^2(2x)}-2\text{sin}(2x).$$

Ya que los siguientes son todos equivalentes: $$\frac{2}{\text{cos}^2(2x)}-2\text{sin}(2x)>0$$ $$\frac{2}{\text{cos}(2x)}>2\text{sin}(2x)\text{cos}(2x)$$ $$2>\text{cos}(2x)\text{sin}(4x),$$ siendo esto último claramente cierto ya que $\text{cos}(2x)\leq 1$ y $\text{sin}(4x)\leq 1$ tenemos entonces que la función original es estrictamente creciente cuando la derivada no es indefinida, es decir, cuando $x$ no es un múltiplo medio entero de $\frac{\pi}{4}$ . Por lo tanto, el período tiene que ser al menos $\frac{\pi}{2}$ y el problema se resuelve cuando comprobamos que dicho periodo funciona.

Útil enlace .