Cuando se $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^{-2}=1$?

Question

Para que los números naturales $n$ existe $n$ números naturales $a_i\ (1\le i\le n)$ tal que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^{-2}=1$?

No veo una manera fácil de resolver esto. Hay una solución para $n=1$ desde sólo tomamos $a_i = 1$ y una solución para $n=4$ si tomamos $a_i = 2$. ¿Cómo podemos encontrar todos los posibles valores de $n$?

Answer 1

Si $n$, $n+3$ $n+8$ obras.

Prueba. Tomar un término, $a_i$, y reemplácelo con $4$ copias de $2a_i$. Tomar un término, $a_i$, y reemplácelo con $9$ copias de $3a_i$. Ambos trabajan.

Así, desde la $1$ obras, todos los números de $\equiv1\pmod 3$ trabajo.

Desde $9$ trabaja ($a_i=3\forall i$), todos los números de $\equiv0\pmod 3$ mayor o igual $9$ trabajo.

Desde $1$ obras, $1+8+8=17$ obras, todos los números de $\equiv2\pmod 3$ mayor o igual $17$ trabajo.

Ahora estas son las excepciones que debemos comprobar: $2, 3, 5, 6, 8, 11, 14$.

Claramente $2, 3$ son imposibles como $\frac{1}{a_i^2}\leq\frac{1}{4}$$a_i>2$$\sum\frac{1}{a_i^2}<1$.

Para $5$, una de las $\frac{1}{a_i^2}\geq\frac{1}{5}$, lo $a_i=2$ algunos $i$. Tenemos $4$ números de la adición de a $\frac{3}{4}$. Una de las $\frac{1}{a_i^2}\geq\frac{3}{16}>\frac{1}{9}$, lo $a_i=2$ otro $i$. Tenemos $3$ números de la adición de a $\frac{1}{2}$. Una de las $\frac{1}{a_i^2}\geq\frac{1}{6}>\frac{1}{9}$, lo $a_i=2$ otro $i$. Tenemos $2$ números de la adición de a $\frac{1}{4}$. Uno de los números de $\geq\frac{1}{8}$, así que imposible.

$6$ es realmente posible. $1=3\times\frac{1}{4}+2\times\frac{1}{9}+1\times\frac{1}{36}$

$8$ es realmente posible. $1=2\times\frac{1}{4}+4\times\frac{1}{9}+2\times\frac{1}{36}$, lo $8+3=11$ $11+3=14$ son posibles.

Así que ahora, el conjunto actualizado de los posibles números es todos los números enteros, excepto para $2, 3, 5$.