Cálculo de las reglas de fusión para $\operatorname{Rep}(G)$ y $G_{k}$ [solicitud de referencia]

Question

¿Podría alguien indicarme los libros de texto o la bibliografía que (tal vez siente las bases y) detalle el método para determinar las reglas de fusión para categorías como

• $\operatorname{Rep}(G)$ es decir, la categoría de representaciones de un grupo finito $G$ También he visto referencias a cosas como $\operatorname{Rep}(G)/H$ para un grupo $H$ en la literatura - no estoy seguro de cómo se definen, pero esto también es de interés.
• $G_{k}$ es decir, un grupo de Lie $G$ en el nivel $k$ Por ejemplo $(G_{2})_2$ .
• $\mathfrak{g}_{k}$ es decir, un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ en el nivel $k$ Por ejemplo $\mathfrak{su}(n)_{k}$

Estoy feliz de asumir que el campo base es $\mathbb{C}$ cuando sea posible. A decir verdad, ni siquiera estoy seguro de lo que significa "a nivel $k$ ' significa en los dos últimos puntos. Se agradecen las hojas de ruta para el aprendizaje y las referencias elementales/pedagógicas. Si sirve de ayuda, tengo una comprensión bastante básica de la teoría de la representación de grupos finitos y álgebras de Lie. Tengo formación en física (por lo que estoy familiarizado con las categorías de fusión en cierto sentido, pero no a través de las rutas/perspectivas anteriores - ¡una situación que creo que sería útil rectificar!)

Answer 1

En general, no hay que esperar fórmulas explícitas para la descomposición de los productos tensoriales. La situación es un poco mejor para las álgebras de Lie que para los grupos finitos. Como señaló Ehud Meir, incluso el cálculo de los coeficientes de Kronecker para grupos simétricos

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_coefficient

es muy difícil. Si tomas otros grupos finitos (excepto los muy pequeños), no encontrarás ninguna regla general. Para grupos pequeños sí que puedes hacerlo mediante cálculos de caracteres. Unos buenos textos introductorios son los libros de Serre y Fulton-Harris sobre teoría de la representación.

No conozco tal cosa como un grupo de Lie o un álgebra de Lie en el nivel k. Lo que probablemente quieres decir es el nivel $k$ módulos integrables de mayor peso sobre alguna álgebra de Lie afín. Pero primero hay que tener un buen conocimiento de la teoría clásica.

Para las álgebras de Lie semisimples hay varias formas de calcular la descomposición del producto tensorial. Una de ellas es utilizar la fórmula de caracteres de Weyl y $ch(V \otimes W) = ch(V) \cdot ch(W)$ . De esta manera se pueden obtener algunas fórmulas complicadas para los coeficientes de fusión (véase el libro de Humphreys sobre álgebras de Lie (capítulo 24, "fórmula de Steinberg") para un ejemplo).

Para $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ el carácter de una representación irreducible $L(\lambda)$ viene dada por la función de Schur $s_{\lambda}$ . Los coeficientes de estructura $c_{\lambda,\mu}^{\nu}$ en $s_{\lambda} \cdot s_{\mu} = \sum_{\nu} c_{\lambda,\mu}^{\nu} s_{\nu}$ se conocen como coeficientes de Littlewood-Richardson, y el algoritmo combinatorio para calcularlos es la regla de Littlewood-Richardson

https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood%E2%80%93Richardson_rule

Existen descripciones combinatorias similares para $\mathfrak{so}(n,\mathbb{C})$ y $\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ .

Una regla muy general es el modelo de trayectoria de Littelmann

https://en.wikipedia.org/wiki/Littelmann_path_model

que puede utilizarse para obtener reglas de fusión para representaciones de álgebras de Kac-Moody simetrizables.

Si nos alejamos de las álgebras de Lie semisimples y pasamos a categorías de representación no semisimples, como las representaciones de un grupo cuántico en una raíz de la unidad, o las representaciones de un supergrupo, o la teoría de la representación en característica positiva, se conocen muy pocas fórmulas generales.

Ya que menciona las categorías de fusión y el nivel $k$ : Lo que te interesa en última instancia podría ser la teoría de las categorías de fusión que surgen de un grupo cuántico y la equivalencia Kazhdan-Lusztig. Pero esto es bastante avanzado y si no estás suficientemente familiarizado con la teoría clásica, los libros de Humphreys y Fulton-Harris podrían ser mejores para empezar. Una introducción a las representaciones de los grupos cuánticos puede encontrarse en el libro Quantum Groups de Chari-Pressley (capítulos 10, 11). Una buena introducción a los anillos de fusión es el artículo de Sawin sobre Quantum groups at roots of unity and modularity (que incluye la fórmula de Racah para los productos tensoriales)

https://arxiv.org/abs/math/0308281

En cuanto a la equivalencia Kazhdan-Lusztig puedes echar un vistazo a estas respuestas de mathoverflow para ver de qué se trata:

¿Por qué las álgebras mentirosas afines y los grupos cuánticos deben tener teorías de representación equivalentes?

¿Cuál es el estado de la cuestión en lo que respecta a la identificación entre las repeticiones del grupo cuántico en la raíz de la unidad, y las repeticiones del álgebra de Lie afín de energía positiva?