Suponga que la conclusión es equivocada, y deje m ser el más pequeño
índice tal que am≠0. Sin pérdida de generalidad podemos
suponga que m=1, es decir,
a1≠0.
Vamos 0<ε<12|a1|. ∑∞n=1an es absolutamente convergente, por lo tanto no es un número entero N tal que
∞∑n=N+1|an|<ε.
y, en particular,|an|<εn>N. De ello se sigue que
para todos los enteros k,
∞∑n=N+1|an|k≤∞∑n=N+1εk−1|an|=εk−1∞∑n=N+1|an|<εk.
Desde ∑akn=0, k- ésima potencia de sumas
pk:=pk(a1,…,aN)=N∑n=1akn
satisfacer
|pk|=|∞∑n=N+1akn|≤∞∑n=N+1|an|k<εk
para 1≤k≤N.
Ahora vamos a
ek:=ek(a1,…,aN) be the k-th primaria polinomio simétrico
en las variables a1,…,aN.
A continuación,e0=1, y el de Newton identidades estado que
e1=p12e2=e1p1−p23e3=e2p1−e1p2+p3
y en general
\etiqueta3kek=k∑i=1(−1)i−1ek−ipi para k≥0.
De (2) (3) se deduce fácilmente por inducción que
la primaria simétrica polinomios satisfacer
|ek|≤εk para 0≤k≤N.
Ahora definir
P(x)=(x−a1)(x−a2)⋯(x−aN)=xN−e1xN−1+e2xN−2⋯±eN.
A continuación, P(a1)=0 y, por tanto, r:=|a1| satisface
rN≤|e1|rN−1+|e2|rN−2+⋯+|eN|≤εrN−1+ε2rN−2+⋯+εN=εrN−1(1+εr+⋯+(εr)N−1)
o
1≤εr(1+εr+⋯+(εr)N−1).
ε fue elegido tal que 0<εr<12, por lo tanto
1<12(1+12+⋯+(12)N−1)<1
lo cual es una contradicción.
Por lo que la hipótesis inicial de que está mal, y está demostrado que
todos los an son cero.