¿La serie $\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\ln\ln n}{\ln n}$ ¿convergen o divergen?

Question

Estaba mirando un antiguo examen de cálculo de Upenn y vi esta pregunta: ¿La serie $\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\ln\ln n}{\ln n}$ ¿convergen o divergen? Usando Wolframalpha pude ver que diverge usando la prueba de comparación, pero no estoy seguro de con qué serie compararla. Quizás la serie armónica ya que $\ln\ln n \gt1$ y $\ln n \lt n$ . ¿Es eso correcto?

Answer 1

Para $n > e^e$

$$\frac{\ln \ln n}{\ln n} > \frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$$

desde $\ln \ln n$ es estrictamente creciente y $\ln n < n$ . La suma de una serie convergente (la suma de los términos antes de $e^e$ ) y una serie divergente es divergente, por lo que esta serie diverge.

Answer 2

Sugerencia: 1. $ f(x) = \dfrac{\ln x }{x} $ tiene $ f’(x) < 0 , x \ge 3$ .

2. $ 1 < \ln n < n , n \ge 3 $ .

   3. $a_n \ge \dfrac{\ln n}{n}$ .

¿Puede continuar?