Comprensión de la definición de la integral de una función no negativa en la teoría de la medida

Question

Permítanme comenzar proporcionando las siguientes dos definiciones extraídas de mis apuntes de clase.

Estaba tratando de armar cómo a partir de la definición de una función simple, formaríamos la definición dada de una integral. ¿Puede alguien ayudarme a armar esto? Gracias.

Answer 1

La forma estándar de pasar de la integración de funciones simples a la integración de funciones positivas es a través de algunos resultados. Estos resultados deberían estar presentes en su texto, por lo que sólo proporciono los resultados, y un poco de "intuición".

1) Aproximar una función positiva definida en algún conjunto mediante funciones simples: Existen resultados que garantizan que dicha aproximación es posible.

2) Define la integral de la función positiva como el límite de las integrales de esta sucesión de funciones simples.

Ahora tienes que demostrar que el resultado de la integración no depende de la secuencia elegida.

A veces, para evitar este problema, la mayoría de los textos hacen el siguiente "truco" Definen la integral de una función positiva como el sumo del siguiente conjunto: $\{\int{\phi}: \phi \leq f$ y $\phi$ es una función simple $\}$ .

Answer 2

Esperemos que esto dé alguna intuición:

Volvamos a la idea de que la integración debe representar el área: Las funciones simples tienen gráficos que parecen rectángulos (si el $A_i$ son rectángulos, y una interpretación más complicada en caso contrario), por lo que la integral debería ser simplemente

$$(\text{height of $ f $})(\text{width of $ A_i $})$$

sumando todos los $i$ . Ahora "ancho" significa medida.

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Si se considera la primera de Los tres principios de Littlewood Es la única cosa natural que se puede hacer. La integral de Lebesgue puede verse como la terminación de la integral de Riemann en una clase de funciones mucho mayor (es decir, la terminación de las funciones continuas con soporte compacto en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ), por lo que debe conservar la idea de que la integración tiene que ver con las zonas.